2) Rovnoměrný pohyb po kružnici a otáčivý pohyb tělesa

Kinematika a dynamika tohoto pohybu

např.: rovnoměrné obíhání kuličky upevněné na niti dané délky kolem pevného středu

Rovnoměrný pohyb po kružnici koná hmotný bod tehdy, jestliže ve stejných libovolně zvolených dobách opíše stejně dlouhé oblouky kružnice Δ s, kterým přísluší také

stejné velikosti úhlů Δ φ.

Okamžitá rychlost hmotného bodu při pohybu rovnoměrném po kružnici

a) velikost okamžité rychlosti

v = Δ s / Δ t (t = konstanta)

velikost okamžité rychlosti je stálá

b) směr okamžité rychlosti

je dán tečnou v příslušném bodě trajektorie

směr okamžité rychlosti se mění

z toho vyplývá: při rovnoměrném pohybu hmotného bodu po kružnici má OKAMŽITÁ RYCHLOST stálou velikost, ale mění se její směr

Pravidelnost rovnoměrného pohybu po kružnici

za určitou dobu se kulička dostane do téhož místa se stejnou rychlostí a opakuje svůj pohyb

rovnoměrný pohyb hmotného bodu po kružnici je pohyb periodický (pravidelně se opakující)

doba jednoho oběhu = PERIODA

značka: T

jednotka: sekunda (s)

počet oběhů za jednu sekundu = FREKVENCE

značka: f

jednotka: HERTZ (Hz) … 1 Hz = s

-1

Jeden oběh kuličky

dráha = délka kružnice

čas = doba oběhu (jedna perioda)

Velikost okamžité rychlosti:

v = 2πr / T = 2πr · f (vztah pro velikost okamžité rychlosti)

r - poloměr kružnice, T - doba oběhu, f – frekvence

Velikost úhlu (ve fyzice):

φ = s / r (s – délka oblouku, r – poloměr kružnice)

jednotka: rad - radián

a) s = r

φ = r / r = 1 rad

1 radián = 57° 20´

b) plný úhel

s / r = 2πr / r = 2π rad

2π rad = 360°

Úhlová rychlost

Úhlová rychlost je podíl úhlové dráhy Δφ, kterou opíše průvodič za dobu Δt, a této doby.

Jednotkou úhlové rychlosti je radián za sekundu (rad · s

-1

nebo s

-1

Koná-li hmotný bod rovnoměrný pohyb po kružnici, nemění se jeho úhlová rychlost. Úhlová rychlost je lineární funkcí času. Jestliže je v čase t

= 0 úhlová dráha φ

= 0,

závisí úhlová dráha na čase vztahem

Pomocí frekvence vyjádříme úhlovou rychlost vztahem

Pomocí periody vyjádříme úhlovou rychlost vztahem

Velikost rychlosti hmotného bodu vyjádříme pomocí poloměru kružnice a úhlové rychlosti vztahem

Podmínky jeho vzniku

Víme:

Při rovnoměrném pohybu po kružnici se velikost jeho rychlosti nemění, mění se však směr rychlosti. Rychlost v jako vektor tedy není konstantní, má jen stálou

velikost v. Mění-li se vektor rychlosti, znamená to, že hmotný bod má zrychlení.

podív ej se na následující aplet a popiš ho (zapni si zobrazení rychlosti a potom zrychlení)

Pro velikost dostředivého zrychlení platí vztah (bez odvození)

SHRNUTÍ A ZÁVĚR:

Zrychlení hmotného bodu při rovnoměrném pohybu po kružnici směřuje stále do středu kružnice. Jeho velikost je konstantní, směr se však neustále mění.

Dostředivá síla

Víme: a) při rovnoměrném pohybu po kružnici má HB tzv. DOSTŘEDIVÉ ZRYCHLENÍ pro jehož velikost platí:

r ... poloměr kružnice

v ... velikost rychlosti

ω ... úhlová rychlost

b) příčinou zrychlení HB je vždy síla, která má stejný směr jako zrychlení (2. NPZ)

z a) i b) → na HB, který koná rovnoměrný pohyb po kružnici, musí působit síla, která stejně jako zrychlení směřuje stále do středu kružnice - nazýváme ji DOSTŘEDIVÁ

SÍLA

platí: F

= m · a

VLASTNOSTI F

1) je stále kolmá ke směru okamžité rychlosti v

2) jejím pohybovým účinkem na HB je změna směru rychlosti HB a zakřivení jeho trajektorie do tvaru kružnice

3) původ v libovolném vzájemném silovém působení

např.: roztočená kulička na niti (F

- tahová síla nitě prostřednictvím naší ruky)

obíhání umělé družice kolem Země (F

- gravitační síla)

Příklad: Kulička o hmotnosti 0,05 kg je zavěšena na vlákně o délce 0,8 m. Pohybuje se tak, že opisuje ve vodorovné rovině kružnici o poloměru 0,3 m rychlostí o stálé

velikosti.

Určete:

a) výslednici sil, které na ni působí

b) velikost rychlosti kuličky

Odpor vzduchu a hmotnost vlákna zanedbejte.

zápis:

m = 0,05 kg

l = 0,8 m

g = 9,81 m · s

-2

r = 0,3 m

a) F

= ?

b) v = ?

řešení:

a) na kuličku působí:

tíhová síla F

tahová síla vlákna F

výslednice těchto sil ... dostředivá síla F

= F

+ F

)

b) platí:

Setrvačná a odstředivá síla

Víme: NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÁ SOUSTAVA = každá sousta, která se vzhledem k IVS pohybují jinak než rovnoměrně přímočaře

myšlenkový pokus: pozorování pohybu izolovaného tělesa (kuličky) ve vagónu, který se pohybuje po přímé trati pohybem rovnoměrně zrychleným (a = konstanta)

z těchto dvou pohybů vyplývá:

V neinerciálních vztažných soustavách nezůstává izolované těleso v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu. Na těleso v NIVS působí setrvačná síla F

= m · a,

vznikající jako důsledek zrychleného pohybu soustavy.

DŮSLEDKY MYŠLENKOVÉHO POKUSU:

1) setrvačná síla nemá původ ve vzájemném silovém působení těles ale v NIVS → neexistuje k ní reakce

2) v NIVS neplatí 1. a 3. NPZ (2. NPZ platí, počítáme-li i se setrvačnými silami)

3) setrvačné síly existují pouze v NIVS (v IVS setrvačné síly neexistují)

SETRVAČNÉ SÍLY V PRAXI

1) AUTOBUS S CESTUJÍCÍMI PROJÍŽDĚJÍCÍ ZATÁČKOU

(z hlediska pozorovatele uvnitř autobusu) - viz 3

2) TĚLESO O HMOTNOSTI m V KABINĚ VÝTAHU

3) ODSTŘEDIVÁ SÍLA

např.: cestující v autobuse, který projíždí zatáčku tvaru kružnicového oblouku → na cestující působí síla, která tlačí cestující do oken autobusu (na vnější straně zatáčky) - z

hlediska pozorovatele v autobuse (v NIVS)

je to síla setrvačná, kterou v tomto případě nazýváme ODSTŘEDIVOU (F

)

platí: Fo = - F

Fo = m · a

VLASTNOSTI Fo:

1) je to síla setrvačná (existuje pouze v NIVS)

2) má směr poloměru ven ze středu kružnice

3) pro její velikost platí:

Příklad: Cyklista jedoucí po přímé betonové silnici rychlostí 27 km/h vjede náhle do zatáčky o poloměru 25 m. Jak musí cyklista jet, aby zatáčku bezpečně projel? (g = 10

m · s

-2

) Tření a odpor vzduchu zanedbejte.

řešení:

v = 27 km/h = 7,5 m/s

r = 25 m

α = ?

platí (viz obrázek):

Aby se cyklista při jízdě nepřeklopil, musí se naklonit o úhel 13° dovnitř zatáčky.

Moment setrvačnosti a kinetická energie tělesa

Posuvný pohyb TT a jeho E

Víme:

všechny body tělesa při posuvném pohybu opisují stejné trajektorie a v každém okamžiku mají stejnou rychlost

prvního bodu:

druhého bodu:

n-tého bodu:

potom celková E

tuhého tělesa:

Otáčivý pohyb TT a jeho E

Víme:

všechny body tělesa opisují kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení

ω ... úhlová rychlost

MOMENT SETRVAČNOSTI (J)

Moment setrvačnosti (J)

Moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje rozložení hmotnosti jednotlivých částic v tělese vzhledem k ose

jednotka: kg.m

, m

, ... m

- hmotnosti jednotlivých bodů z nichž se těleso skládá

, r

, ... r

- vzdálenosti bodů od osy

Celková kinetická (pohybová) energie tělesa

Celková kinetická (pohybová) energie tělesa, které se pohybuje posuvným i rotačním pohybem zároveň

KÖNIGOVA VĚTA

Momenty setrvačnosti různých těles

(vzhledem k ose procházející těžištěm)

prstenec plný válec koule homogenní tyč

Setrvačníky

tělesa mající velký moment setrvačnosti

látka rozložena symetricky kolem osy otáčení (volná osa)

osa roztočeného setrvačníku zachovává v prostoru stálý směr

Moment setrvačnosti pro osu neprocházející těžištěm

Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose neprocházející tělesem si můžeme představit složený ze dvou částí: z momentu setrvačnosti J

vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm

a z výrazu

, který představuje

moment setrvačnosti těžiště tělesa, v němž by byla

soustředěna hmotnost tělesa vzhledem k ose otáčení.

STEINEROVA VĚTA