4) Pohyby těles v gravitačním, elektrickém a magnetickém poli
Pohyby v homogenním a nehomogenním gravitačním poli - vrhy
Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země
Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země jsou pohyby, které probíhají v blízkosti Země a jejichž trajektorie jsou vzhledem k rozměrům Země velmi malé. Budeme
předpokládat, že na pohybující se tělesa nepůsobí kromě tíhové síly žádné další síly, ani odporová síla vzduchu. Uvažujeme tedy o pohybech tělesa ve vakuu.
V homogenním tíhovém poli země pozorujeme volný pád a tzv. složené pohyby (vrhy). Skládají se z volného pádu a rovnoměrně přímočarého pohybu. Podle směru
pohybu dělíme vrhy na:
svislý vrh vzhůru
svislý vrh dolů
vodorovný vrh
šikmý vrh vzhůru
Vrh vodorovný
vodorovný vrh je pohyb skládající se z volného pádu a pohybu rovnoměrného přímočarého směřujícího vodorovně s povrchem Země
trajektorií pohybu je část paraboly, jejíž vrchol je v místě vrhu
délka vrhu je závislá na počáteční rychlosti v
0
a na výšce h, ze které bylo těleso vrženo
charakteristika pohybu:
souřadnice polohy:
velikosti rychlosti:
doba pohybu:
délka pohybu:
Vrh svislý vzhůru
pohyb složený z pohybu rovnoměrného přímočarého směrem vzhůru a z volného pádu
charakteristika pohybu:
výška vrhu (v libovolném čase) - h
rychlost vrhu (v libovolném čase) - v
v = v
0
- gt
doba stoupání - t
h
(od momentu vyhození tělesa až do nejvyššího bodu)
v nejvyšším bodě je rychlost nulová (po uplynutí času t
h
)
výška výstupu - h
h
(maximální výška vrhu)
doba klesání - t
1
(čas, za který se těleso pohybuje směrem dolů)
rychlost dopadu - v
1
Šikmý vrh vzhůru
vrh šikmý vzhůru je pohyb, který se skládá z volného pádu a pohybu rovnoměrně přímočarého šikmo k povrchu Země
pro určení polohy a rychlosti hmotného bodu je třeba rozložit počáteční rychlost na složku vodorovnou v
x
a svislou v
y
okamžitá rychlost je vektorovým součtem svislé a vodorovné rychlosti
délka vrhu přímo úměrně závisí na počáteční rychlosti vrhu v
0
a na elevačním úhlu α, pod kterým bylo těleso vrženo
při konstantní rychlosti je nejdelší délka vrhu pro elevační úhel α 45°
charakteristika pohybu:
souřadnice polohy:
velikosti rychlosti:
doba, v níž těleso dosáhne největší výšky:
délka šikmého vrhu:
doba pohybu tělesa:
největší délka šikmého vrhu (pro α = 45°):
Vrhy těles - přehled vztahů
Kosmická tělesa
Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země - družice a sondy
mají velký význam v kosmonautice
při těchto pohybech se mění K a A
g
v
0
… počáteční rychlost
1 … velmi malá v
0
(těleso dopadne na povrch Země - obdoba vodorovného vrhu)
2 … větší v
0
(těleso na Zem nedopadne, ale opíše kolem Země elipsu)
3 … pro určitou v
0
těleso opisuje kolem Země kružnici
v
0
nazýváme kruhová rychlost (v
k
) (nejmenší rychlost, která udrží těleso na kruhové dráze)
určení v
K
ve výšce h nad povrchem Země:
úvaha: F
g
= F
S
LETY UMĚLÝCH KOSMICKÝCH TĚLES
rakety startují z povrchu Země → h = 0
Rozdělení podle velikosti v
0
:
A) v
0
< v
k
→ těleso opíše část elipsy a dopadne na povrch Země - balistické střely
1. KOSMICKÁ RYCHLOST (těleso obíhá kolem Země po kruhové dráze)
v
k
= 7,9 km/s
C) v
k
<= v
0
< v
p
z toho vyplývá, že těleso je družicí Země (pohybuje se po elipse)
D) v
0
= v
p
→ těleso opouští Zemi a stává se družicí Slunce - kosmické sondy (v
p
… parabolická (úniková) rychlost)
2. KOSMICKÁ RYCHLOST
v
p
= 11,2 km/s
E) v
p
<= v
0
< v
h
→ těleso je družicí Slunce
F) v
0
= v
h
→ těleso se vymaní z gravitačního působení Slunce a opustí Sluneční soustavu po hyperbole
(v
h
… hyperbolická rychlost)
3. KOSMICKÁ RYCHLOST
v
h
= 16,6 km/s
Pohyby těles v gravitačním poli Slunce - Keplerovy zákony
Johannes Kepler (1571 - 1630) - německý astronom (12 let působil na dvoře císaře Rudolfa)
na základě pozorování planet sestavil Kepler tři zákony o pohybu planet, které popisují pohyb planet pouze z hlediska kinematiky, příčiny pohybů popisuje až Newton
I. KZ: Planety se pohybují po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.
II. KZ: Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.
III. KZ: Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií.
vysvětlení II. KZ:
A … afélium - odsluní
P … perihélium - přísluní
důsledek II. KZ: v
A
< v
P
vysvětlení I. a III. KZ:
S ... střed
AB ... hlavní vrcholy
CD ... vedlejší vrcholy
F
1
, F
2
... ohniska elipsy
platí: |F
1
X| + |XF
2
| = x + y = 2a
a ... hlavní poloosa (a = |AS|)
b ... vedlejší poloosa (b = |CS|)
platí: a
2
= b
2
+ e
2
e ... číselná výstřednost (excentrita) je definována jako e = SF/a (udává, do jaké míry se liší eliptická trajektorie od kružnice)
MĚŘENÍ VZDÁLENOSTI PLANET
měří se v tzv. ASTRONOMICKÝCH JEDNOTKÁCH (AU) - (astronomical unit)
1 AU = 149,6 · 10
6
km (střední vzdálenost Země od Slunce)
Pohyb částice s nábojem v homogenním elektrickém a magnetickém poli
A) POHYB NABITÉ ČÁSTICE V HOMOGENNÍM ELEKTROSTATICKÉM POLI
uvažujme pohyb elektronu (částice se záporným nábojem) v homogenním elektrostatickém poli, které vytvoříme mezi deskami nabitého kondenzátoru
možné případy nákres vztahy a pojmy využití
směr okamžité rychlosti
v částice (elektronu) je
rovnoběžný s vektorem E
intenzity elektrického
pole
navíc: shodný směr
elektrostatická síla působící na elektron mění velikost rychlosti elektronu a
potenciální energie elektrostatického pole se mění na kinetickou energii elektronu
částice (elektron) koná pohyb přímočarý a rovnoměrně zrychlený
směr okamžité rychlosti
v částice (elektronu) je
rovnoběžný s vektorem E
intenzity elektrického
pole
navíc: opačný směr
elektrostatická síla působící na elektron mění velikost rychlosti elektronu a
kinetická energie elektronu se mění na potenciální energii elektrostatického pole
částice (elektron) koná pohyb přímočarý a rovnoměrně zpomalený
směr okamžité rychlosti
v částice (elektronu) je
kolmý k vektoru
elektrické intenzity E
homogenního
elektrického pole
elektrostatická síla působící na částici (elektron) mění směr rychlosti částice
(elektronu) a uděluje částici (elektronu) zrychlení ve směru vektoru E
částice (elektron) koná ve směru osy x rovnoměrný pohyb s rychlostí vx a ve směru
svislém pohyb rovnoměrné zrychlený
částice (elektron) se pohybuje po křivce (parabole) k desce s opačným nábojem
částice (elektron) se pohybuje po křivce (parabole) k desce s opačným nábojem
než má částice - obdoba vodorovného vrhu
(gravitační a tíhovou sílu zanedbáváme)
směr okamžité rychlosti
v částice (elektronu) je
kolmý k vektoru
elektrické intenzity E
homogenního
elektrického pole
opačná polarita desek
než v předchozím případě
elektrostatická síla působící na částici (elektron) mění směr rychlosti částice
(elektronu) a uděluje částici (elektronu) zrychlení ve směru vektoru E
částice (elektron) koná ve směru osy x rovnoměrný pohyb s rychlostí vx a ve směru
svislém pohyb rovnoměrné zrychlený
částice (elektron) se pohybuje po křivce (parabole) k desce s opačným nábojem
než má částice - obdoba vodorovného vrhu
(gravitační a tíhovou sílu zanedbáváme)
ÚLOHA:
B) POHYB NABITÉ ČÁSTICE V HOMOGENNÍM MAGNETICKÉM POLI
Na částici s nábojem v magnetickém poli působí magnetická síla o velikosti F
m
= B.Q.v.sin α
B je velikost magnetické indukce homogenního magnetického pole
Q je náboj částice
α = úhel, který svírá směr magnetické indukce B se směrem rychlosti v pohybu částic
směr síly je určen Flemingovým pravidlem levé ruky a je kolmá ke směru okamžité rychlosti v částice a vektoru magnetické indukce B
ze vztahu plyne
α = 0° α = 90° ostatní případy
F
m
= 0
minimální
F
m
= B.Q.v
maximální
F
m
= B.Q.v.sin α
magnetické pole na
pohybující se částici s
nábojem Q silově nepůsobí
magnetické pole působí na částici tak, že zakřivuje její trajektorii do tvaru
kružnice
F
m
= F
S
B.Q.v = (m.v
2
)/r
potom pro poloměr kružnicové trajektorie platí
r = (mv)/(BQ)
m ... hmotnost částice
v ... rychlost částice
Q ... náboj částice
B ... velikost magnet. indukce hom. mag. pole
F
m
= Q.(v x B)
vektorový součin
částice s nábojem
se pohybuje
po šroubovici
Důležitý závěr:
magnetická síla působí kolmo na směr pohybu částice a proto nemění velikost okamžité rychlosti částice (měnit se může pouze
směr)
ÚLOHA:
V homogenním magnetickém poli, jehož magnetická indukce má velikost B = 0,080 T, je elektron. Určete směr a velikost síly, kterou na něj magnetické pole působí, jestliže
elektron
1. je v klidu
2. pohybuje se rychlostí v o velikosti 8 000 m.s
-1
a) ve směru indukčních čar
b) proti směru indukčních čar
c) kolmo na indukční čáry
d) ve směru svírajícím s indukčními čarami úhel 120°.
Jednotlivé případy zakreslete do obrázku.
(1) 0 N, 2a) 0 N, 2b) 0 N, 2c) 1,02.10
-16
N - před nákresnu, 2d) 8,87.10
-17
N - před nákresnu - v případě, že vektor B leží v nákresně a směřuje zleva doprava)
C) POHYB NABITÉ ČÁSTICE V ELEKTRICKÉM I MAGNETICKÉM POLI ZÁROVEŇ
Pohybuje-li se částice s nábojem v elektromagnetickém poli, působí na tuto částici současně
1. elektrická síla F
e
2. magnetická síla F
m
Potom je výsledná síla, která působí na částici dána vektorovým součtem těchto sil:
F
e
+ F
m
= F
L
F
L
..............LORENTZOVA SÍLA
F
L
= Q.(E + v x B)
