5) Mechanika tuhého tělesa

Tuhé těleso

Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění.

A) POSUVNÝ POHYB TUHÉHO TĚLESA

všechny body tělesa opisují stejnou trajektorii

všechny body tělesa mají v daném časovém okamžiku stejnou okamžitou rychlost (v)

B) ROTAČNÍ (OTÁČIVÝ) POHYB TUHÉHO TĚLESA kolem nehybné osy, která nemění svoji polohu

všechny body tělesa mají stejnou úhlovou rychlost (ω je konstantní, ω = φ/t)

okamžitá rychlost (v) není konstantní

trajektorií všech bodů tělesa při tomto pohybu je část kružnice se středem v ose otáčení

velikost okamžité rychlosti v je přímo úměrná jejich vzdálenosti od osy otáčení (v = ωr)

Moment síly vzhledem k ose otáčení

Moment síly vzhledem k ose otáčení = veličina vyjadřující otáčivý účinek síly působící na tuhé těleso, které se otáčí kolem nehybné osy

M = F · d

vysvětlivky:

F ... působící síla

d ... rameno síly (vzdálenost vektorové přímky působící síly od osy otáčení)

o ... nehybná osa

A ... působiště síly

Síla nemá otáčivý účinek, prochází-li vektorová přímka síly osou otáčení.

Směr momentu síly určíme podle pravidla pravé ruky: Položíme-li pravou ruku na těleso tak, aby prsty ukazovaly směr otáčení tělesa, pak vztyčený palec ukazuje směr momentu síly.

Znaménková dohoda:

Způsobuje-li síla otáčení tělesa ve směru hodinových ručiček, má příslušný moment síly znaménko záporné. V případě, že síla způsobuje otáčení tělesa ve směru opačném, moment síly má

znaménko kladné.

V praxi na těleso působí často současně více sil. Potom je jejich celkový otáčivý účinek určen výsledným momentem

M = M

+ M

+ … + M

Momentová věta:

Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy se ruší, jestliže vektorový součet momentů všech sil vzhledem k ose otáčení je nulový vektor.

+ M

+ … + M

= 0

Skládání a rozklad sil

Skládání sil

Skládat síly na tuhé těleso znamená nahradit tyto síly jedinou silou, která má na těleso stejné účinky jako skládané síly, nazývá se výslednice sil. Výslednice sil je určena svou

velikostí, směrem a polohou působiště. Velikost a směr výslednice jsou dány vektorovým součtem jednotlivých sil.

F = F

+ F

+ ... + F

A) Skládání různoběžných sil

Síly, které budeme skládat, přesuneme po vektorových přímkách do společného působiště C.

Poté doplníme na rovnoběžník a máme výslednou sílu F.

Výslednou sílu F většinou potom posuneme po vektorové přímce do bodu D, který leží na spojnici bodů A a B.

Podobným způsobem postupujeme při skládání více různoběžných sil.

Výsledná síla musí mít stejné otáčivé účinky jako skládané síly. Celkový moment síly musí být stejný jako součet momentů skládaných sil.

B) Skládání rovnoběžných sil

stejného směru

Velikost výslednice rovnoběžných sil stejného směru má velikost rovnou součtu velikostí těchto dvou sil.

Působiště O výslednice sil najdeme pomocí momentů sil. Moment výslednice vzhledem k ose jdoucím jejím působištěm je nulový. Součet momentů původních sil k téže ose

musí být také nulový.

Otáčivé účinky obou sil se navzájem ruší, mají stejnou velikost, ale opačný směr.

Působiště výslednice dělí vzdálenost působišť obou sil v obráceném poměru velikostí skládaných sil.

= d

Výpočet polohy výslednice:

opačného směru

Velikost výslednice rovnoběžných sil opačného směru má velikost rovnou rozdílu velikostí těchto dvou sil.

Směr výslednice je shodný se směrem větší z obou sil.

Moment výslednice vzhledem k ose jdoucím jejím působištěm O je nulový, součet momentů skládaných sil vzhledem k téže ose musí být také nulový.

Působiště výslednice je na prodloužené spojnici působišť obou sil blíže k větší síle.

Výpočet polohy výslednice:

grafická metoda určování výslednice

Rozkládání sil

Rozložit sílu na složky znamená nahradit ji dvěma nebo více silami, jejichž účinek na těleso je stejný jako účinek dané síly. Při rozkládání sil na složky platí stejná pravidla jako při

skládání sil.

A) Rozkládání síly do různoběžných směrů

volíme směry, do kterých chce sílu rozložit, a určujeme velikosti složek

B) Rozkládání síly na dvě rovnoběžné složky

volíme vzdálenosti vektorových přímek složek od vektorové přímky rozkládané síly a určujeme velikost složek

síla F je rozložena na složky F

a F

(viz obrázek) ... platí vztah: F = F

+ F

moment síly F vzhledem k ose procházející jejím působištěm O je nulový = vektorový součet momentů obou složek vzhledem k téže ose musí být rovněž nulový

momenty M

a M

jsou stejně velké a vzájemně opačné (M

= M

neboli F

= F

)

Dvojice sil

Dvě rovnoběžné síly stejně velké a nesouhlasně orientované ležící na různých vektorových přímkách.

Výslednice dvojice sil je nulová.

V praxi:

otáčení volantem

ždímání hadru

Víme:

Působením dvojice sil se tuhé těleso otáčí.

Určení otáčivého účinku dvojice sil na tuhé těleso:

určíme vektorový součet momentů dvojice sil

možné případy:

A) osa otáčení mezi působišti obou sil

M = M

+ M

M= F · (d - x) + F · x

M= Fd - Fx + Fx

M = Fd

B) osa otáčená mimo působiště obou sil

M = M

+ M

M = - M

+ M

M= - F · (d-x) + F · x

M= - Fd - Fx + Fx

M = - Fd

|M| = Fd

C) osa otáčení v působišti jedné síly (např. otáčení volantem pouze jednou rukou)

M = M

+ M

M= - Fd + F · 0

M = - Fd

|M| = Fd

Závěr:

Velikost momentu dvojice sil se rovná součinu velikosti jedné síly a ramene dvojice sil.

M = Fd

F ... velikost jedné síly

d ... rameno dvojice sil

Těžiště

Víme:

tuhé těleso se skládá z velkého počtu částic, každá částice má určitou hmotnost

na každou částici působí v tíhovém poli Země tíhová síla

všechny tyto tíhové síly působící na jednotlivé částice mají stejný směr (do středu Země)

výslednice všech těchto tíhových sil = výsledná tíhová síla působící na tuhé těleso

Definice:

Těžiště = působiště tíhové síly, která působí na těleso

z matematiky: těžiště = průsečík těžnic

Vlastnosti těžiště

dokonale tuhé těleso má jediné těžiště

poloha těžiště v dokonale tuhém tělese je stálá (nemění se)

poloha těžiště je dána rozložením látky v tělese

u stejnorodých středově souměrných těles, např. u krychle, kvádru, koule, je těžiště v jejich geometrickém středu

těžiště může ležet i mimo těleso (např. ohnutého drátu, obruč, prsten apod.)

Určení polohy těžiště

A) nestejnorodá a nepravidelná tělesa

pokusně

B) stejnorodá pravidelná tělesa

graficky

např. u krychle leží těžiště v jejím geometrickém středu

výpočtem

Úloha:

V homogenní kruhové desce o zanedbatelné tloušťce a poloměru R je vyříznut kruhový otvor o poloměru R/2 podle obr. Určete polohu těžiště T tohoto útvaru.

= R/6)

Úloha:

Máme čtverec o straně a. Z tohoto čtverce vystřihněme trojúhelník (viz obr). Určete polohu těžiště takto vzniklého útvaru.

(a/9)

Úloha:

Určete polohu těžiště stejnorodého tělesa zhotoveného z ocele. Těleso se skládá z válcové tyče o délce 30 cm a průměru 1 cm, na jejímž jednom konci je připevněn válec o průměru

6 cm a výšce 4 cm a na druhém konci válec o průměru 3 cm a výšce 2 cm. Osa tyče prochází středy podstav obou válců.

= 7,75 cm)

Návod k řešení:

Těžiště plošných útvarů

Rovnovážná poloha tuhého tělesa

Tuhé těleso otáčivé kolem své osy je v rovnovážné poloze, jestliže:

1. vektorový součet všech sil působících na tuhé těleso je nulový

2. vektorový součet momentů všech sil působících na tuhé těleso je nulový

3. těleso je v klidu

Podle vzájemné polohy těžiště tělesa a osy otáčení rozlišujeme:

1. ROVNOVÁŽNOU POLOHU STÁLOU (STABILNÍ)

osa otáčení se nachází nad těžištěm tělesa

po vychýlení se těleso vrátí do původního stavu

1. ROVNOVÁŽNOU POLOHU VRATKOU (LABILNÍ)

osa otáčení se nachází pod těžištěm tělesa

po vychýlení těleso přejde do rovnovážné polohy stálé

2. ROVNOVÁŽNOU POLOHU VOLNOU (INDIFERENTNÍ)

osa otáčení prochází těžištěm tělesa

po vychýlení zůstává těleso v rovnovážné poloze

Stabilita tělesa

Stabilita tělesa je určena velikostí práce, kterou je třeba vykonat, abychom těleso přemístili z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké

W = m × g × (h

– h

)

Poznámka:

Těleso podepřené na ploše je v stálé rovnovážné poloze, jestliže svislá těžnice prochází podstavou tělesa.

překotný hranol