6) Mechanika kapalin a plynů

Ideální kapalina

Základní vlastnosti kapalin a plynů

Kapaliny a plyny označujeme společným názvem TEKUTINY

TEKUTOST = základní, společná vlastnost kapalin a plynů

příčina tekutosti: snadná vzájemná pohyblivost částic, z nichž se kapaliny a plyny skládají

další společná vlastnost:

kapalná a plynná tělesa nemají stálý tvar (zachovávají tvar podle nádoby, v které se nacházejí)

Rozdílné vlastnosti:

Kapaliny

zachovávají stálý objem (za konstantní teploty)

mají vodorovný povrch v tíhovém poli Země, jsou-li v klidu

jsou velmi málo stlačitelné (malé vzdálenosti mezi částicemi)

vykazují kapilární jevy

mají vnitřní tření

u různých kapalin může být různé (voda x olej, med)

Plyny

nemají stálý tvar ani objem (jsou rozpínavé)

vzájemné síly mezi molekulami jsou zanedbatelné

jsou velmi snadno stlačitelné

Pro zjednodušení dalších úvah zavádíme pojmy:

IDEÁLNÍ KAPALINA = kapalina, která je bez vnitřního tření a je nestlačitelná

IDEÁLNÍ PLYN = plyn, který je bez vnitřního tření a je dokonale stlačitelný

Tlak v kapalinách a plynech

TLAK = skalární fyzikální veličina charakterizující stav tekutiny v klidu

Definiční vztah:

p ... tlak

F ... velikost tlakové síly, která působí kolmo na rovinnou plochu kapaliny

S ... obsah této plochy

Jednotka: Pascal (Pa)

Definice 1 Pascalu:

1 Pa je tlak, který vyvolá síla 1 N rovnoměrně rozložená na ploše o obsahu 1 m

a působící kolmo na tuto plochu

V praxi: často jednotky větší (hPa, kPa, MPa, GPa, TPa)

Tlak vzduchu na hladině moře: p

= 1013,25 hPa

Způsoby vyvolání tlaku v kapalinách a plynech:

vnější silou (realizuje se nejčastěji pevným tělesem, které je s tekutinou v přímém styku)1.

vlastní tíhovou silou tekutiny (působení Země na tekutinu)2.

V praxi se uplatňují většinou oba případy současně.

Aktuální atmosferický tlak vzduchu na hladině moře vztažený k letišti Praha Ruzyně najdete na webových stránkách ŘLP ČR ve zprávě ATIS jako QNH.

Hydrostatika

Tlak v kapalinách vyvolaný vnější silou - PASCALŮV ZÁKON

Jednoduchý pokus (Pascalův ježek)

závěr:

Tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalné těleso v uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný. (p = konst.)

PASCALŮV ZÁKON

Další příklady ověření a využití: hydraulická a pneumatická zařízení v technické praxi

HYDRAULICKÝ ZVEDÁK (JEŘÁB), HYDRAULICKÝ LIS

princip:

Velikosti sil působících na písty jsou jsou ve stejném poměru jako obsahy jejich průřezů.

(Pozor!!! Práce se nešetří)

Tlak v kapalinách vyvolaný tíhovou silou kapaliny - hydrostatický tlak

HYDROSTATICKÝ TLAK = tlak způsobený vlastní tíhou kapaliny

odvození základního vztahu:

potom:

h .......... hloubka kapalina pod volným povrchem

ρ .......... hustota kapaliny

g .......... tíhové zrychlení

důsledky vyvozeného vztahu:

s rostoucí hloubkou se zvyšuje hodnota hydrostatického tlaku

nejvyšší hodnota p

= u dna

nejnižší hodnota p

= povrch kapaliny (p

= 0 Pa)

hladiny hydrostatického tlaku = místa stejného hydrostatického tlaku

volná hladina = hladina s nulovým hydrostatickým tlakem (povrch kapaliny)

HYDROSTATICKÝ PARADOX

předpoklad:

2 nádoby se stejnou tekutinou

tekutina v nádobách do stejné výše

stejná plocha dna obou nádob

potom:

nás zajímá velikost tlakové síly F

, která působí na dno nádoby

ρ, g jsou pro danou kapalinu konstanty

↓

Velikost tlakové síly na dno nádoby nezávisí na hmotnosti kapaliny v nádobě, ale závisí pouze na výšce sloupce kapaliny a na plošném obsahu dna.

HYDROSTATICKÝ PARADOX (HYDROSTATICKÉ PARADOXON)

SPOJENÉ NÁDOBY

SPOJENÉ NÁDOBY NAPLNĚNÉ

JEDNOU KAPALINOU

Kapalina se ustálí ve stejné výšce

SPOJENÉ NÁDOBY NAPLNĚNÉ

DVĚMA NEMÍSÍCÍMI SE KAPALINAMI

společné rozhraní:

= p

Aerostatika

Tlak vzduchu vyvolaný tíhovou silou - atmosférický tlak

Stejně jako na kapaliny i na atmosféru Země působí tíha.

ATMOSFÉRICKÁ TLAKOVÁ SÍLA F

= tíha atmosféry, která působí kolmo k dané rovině

působí na všechna tělesa i na celý povrch Země

ATMOSFÉRICKÝ TLAK p

= tlak vyvolaný atmosférickou tlakovou sílou (tíhou sloupce vzduchu nad našimi hlavami)

pozor!!! pro výpočet nelze použít vztah p

= h.ρ.g

(ρ vzduchu není konstantou)

nejvyšší hodnota atmosférického tlaku - u hladiny moře

normální atmosférický tlak u hladiny moře: p

= 101,325 kPa

s rostoucí nadmořskou výškou atmosférický tlak klesá

na každých 100 m výšky klesá tlak asi o 1,3 kPa

poznámka:

Ze vztahu pro hydrostatický tlak kapalin nelze spočítat tloušťku atmosféry, protože hustota vzduchu není stálá, ale

zmenšuje se z výškou.

atmosférický tlak měříme manometry (barometry)

Manometry

MANOMETR (TLAKOMĚR) = zařízení sloužící k měření tlaku tekutin (kapalin a plynů)

Princip měření:

porovnávání měřeného tlaku tekutiny s hydrostatickým tlakem kapaliny v trubici tvaru U (otevřený kapalinový manometr)1.

deformace vzduchoprázdné krabičky působením měřeného tlaku (deformační barometr, aneroid)2.

RTUŤOVÝ BAROMETR

přístroj sloužící k měření atmosférického tlaku

na jednom konci zatavená trubice naplněná rtutí

podle výšky rtuti pod zataveným koncem můžeme určit

velikost atmosférického tlaku

(čím výš rtuť vystoupí, tím větší tlak)

ANEROID

přístroj k měření aktuálního stavu atmosférického tlaku

vzduchu

tenkostěnná, vzduchoprázdná kovová krabičky, se

působením atmosférického tlaku více nebo méně

deformuje,

velikost deformace je přenášena na ručičku ukazující

velikost tlaku na stupnici.

BAROGRAF

registrační barometr sloužící pro záznam časového

průběhu atmosférického tlaku vzduchu

barograf tvoří několik spojených aneroidů a ručička s

perem kreslící na pomalu se otáčející válec graf

atmosférického tlaku v průběhu dne

OTEVŘENÝ KAPALINOVÝ MANOMETR VÝŠKOMĚR

tlak se měří z rozdílu hladin ∆h v trubici ve tvaru písmene U přístroj sloužící k měření výšky nad mořem, popř. nad určitým místem na Zemi

do okénka se nastavuje:

a) QNH - aktuální tlak na hladině moře

b) QFE - aktuální tlak na určitém letišti

c) 1013,25 hPa - pro lety v letových hladinách

výškoměr funguje na rozdílu tlaku statického a tlaku v uzavřené baňce uvnitř přístroje

SCHÉMA VÝŠKOMĚRU

Archimédův zákon

VZTLAKOVÁ SÍLA, ARCHIMÉDŮV ZÁKON

Z praxe a zkušenosti víme, že tělesa ponořená v kapalinách jsou nadlehčována.

Určení velikosti síly, která těleso nadlehčuje (viz obr):

na těleso v kapalině působí tlaková síla

horní stěna: F´= p´.S = h´.ρ.g.S

spodní stěna: F´´ = p´´.S = h´´.ρ.g.S

a protože h´´ > h´

musí být F´´ > F´

potom výsledná síla F = F´´ - F´

F = h´´.ρ.g.S - h´.ρ.g.S = (h´´- h´).S.ρ.g = h.S.ρ.g = V.ρ.g

VZTLAKOVÁ SÍLA F

= V.ρ.g

V ... objem ponořeného tělesa, ρ ... hustota kapaliny, g ... tíhové zrychlení

Těleso ponořené v kapalině je nadlehčováno hydrostatickou vztlakovou silou, jejíž velikost se rovná tíze kapaliny stejného objemu,

jako je objem ponořené části tělesa.

ARCHIMÉDŮV ZÁKON

(platí v kapalinách i plynech)

CHOVÁNÍ TĚLES V KAPALINĚ (PLOVÁNÍ TĚLES)

Víme: na pevné těleso, které je v kapalině v klidu, působí

tíhová síla F

směrem svisle dolů

vztlaková síla F

směrem svisle vzhůru

pro velikosti jednotlivých sil platí:

= m.g = ρ

.V.g ρ

= hustota tělesa, V = objem tělesa

= V.ρ

.g ρ

= hustota kapaliny, V = objem tělesa

potom podle vzájemné velikosti těchto dvou sil (lépe jejich výslednice) mohou nastat tyto případy:

1. možnost

> F

těleso klesá ke dnu

tento případ nastane tehdy, jestliže

> ρ

2. možnost

= F

těleso se vznáší v kapalině

tento případ nastane tehdy, jestliže

= ρ

3. možnost

< F

těleso stoupá k volné hladině

a částečně se vynoří

tento případ nastane tehdy, jestliže

< ρ

ve třetím případě se nabízí zajímavá otázka: Jak velkou částí svého objemu se vlastně těleso vynoří?

těleso na hladině se ustálí (je v klidu) - výslednice působících sil je nulová

= F

.ρ

.g = V

PČ

.ρ

PČ

= objem ponořené části tělesa

Těleso se ponoří do kapaliny, tím větší částí svého objemu, čím je jeho hustota větší nebo čím je hustota kapaliny menší.

poznámka:

Na tomto principu jsou založeny hustoměry (zařízení sloužící k určování hustoty kapaliny)

Ustálené proudění

Proudění = fyzikální jev, který vzniká tehdy, převažuje-li pohyb kapaliny nebo plynu v daném směru

V praxi velmi častý jev. Např.

proudění vody a plynu v domácnosti

pohánění turbín hydroelektráren

rozvod oleje a maziv ve strojích

proudění pohonných látek z nádrží do motorů automobilů

krevní oběh v lidském těle

atd.

u tekutin dochází při proudění k pohybu jednotlivých částic - proto je pohyb tekutin složitější než pevných těles

ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ PROUDĚNÍ

(podle velikosti v částic tekutiny v daném místě kapaliny nebo plynu)

proudění

NEUSTÁLENÉ (NESTACIONÁRNÍ)

okamžitá rychlost částice kapaliny se v daném místě

proudění

USTÁLENÉ (STACIONÁRNÍ)

okamžitá rychlost částice kapaliny se v daném místě

v závislosti na čase mění v závislosti na čase nemění

ZNÁZORNĚNÍ PROUDÍCÍ TEKUTINY

PROUDNICE = myšlená čára, jejíž tečna sestrojená v libovolném bodě má směr okamžité rychlosti v

pohybující se částice

VLASTNOSTI PROUDNIC:

Znázorňují trajektorie jednotlivých částic proudící tekutiny

Každým bodem proudící tekutiny prochází při ustáleném proudění jen jedna proudnice

Proudnice se nemohou navzájem protínat

PROUDOVÁ TRUBICE = prostor vymezen proudnicemi

PROUDOVÉ VLÁKNO = kapalina vymezená proudovou trubicí

V dalších kapitolách se zaměříme na ustálené proudění ideální kapaliny.

Zákony hydrodynamiky a jejich užití

Rovnice spojitosti

nejprve zavedeme:

Objemový tok (Q

)

fyzikální veličina udávající objem V kapaliny, která

proteče průřezem S za jednotku času

Hmotnostní tok (Q

)

fyzikální veličina udávající hmotnost m kapaliny, která

proteče průřezem S za jednotku času

uvažujme ustálené proudění kapaliny v proudové trubici, jejíž poloměr se změní:

kapalina nemůže z trubice nikam vytéci ani přitéci

= konst.

= Q

= S

ROVNICE SPOJITOSTI TOKU (KONTINUITY)

S.v = konst.

Při ustáleném proudění ideální kapaliny je součin obsahu průřezu S a rychlosti proudu v v každém místě trubice stejný.

Poznámka: Rovnice spojitosti platí i pro plyny a představuje zákon zachování hmotnosti pro tekutiny

Důsledek rovnice spojitosti:

je-li S

> S

je potom v

< v

v užším průřezu trubice proudí kapalina větší rychlostí než v průřezu širším

v praxi:

např. zúžením konce zahradnické hadice dosáhneme větší rychlosti tryskající vody a proto dostříkneme do větší vzdálenosti

Bernoulliho rovnice

Vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie

BERNOULLIHO ROVNICE

Součet kinetické a tlakové potenciální energie kapaliny o jednotkovém objemu je ve všech částech vodorovné trubice stejný.

(zákon zachování mechanické energie pro kapaliny)

v podstatě čím větší je dynamický tlak vzduchu, tím menší je statický tlak vzduchu (a obráceně)

Praktické důsledky Bernoulliho rovnice:

Hydrodynamické paradoxon (hydrodynamický paradox)

foukáte-li mezi dva svislé listy papíru, tak papíry místo oddalování se budou k sobě přitahovat

čím rychleji budete mezi papíry foukat, tím bude přitahování papírů větší

Velikost rychlosti kapaliny vytékající z nádoby

odvození vztahu: ze zákona zachování mechanické energie v místě výtoku kapaliny

Proudění reálné kapaliny

Proudění ideálních tekutin

Proudění tekutiny – pohyb kapaliny resp. plynu v jednom směru. Tento pohyb studuje hydrodynamika, resp. aerodynamika.

Ustálené proudění – v daném místě mají částice tekutiny stále stejnou rychlost.

Proudnice – spojnice bodů, kterými částice kapaliny prošla (trajektorie částice). Rychlost částice v daném bodě má směr tečny k proudnici.

Proudová trubice – prostor, kde kapalina prochází.

Proudové vlákno – tekutý obsah proudové trubice.

Tlaková potenciální energie – popisuje schopnost tekutiny (v klidu, o tlaku p) konat práci (protržení potrubí, odplavení zeminy apod.). Předpokládejme, že kapalina je ve velké

nádrži; její hladina je udržována v konstantní výši. Z nádoby vychází trubice s pístem o obsahu S, tlak kapaliny v trubici je p. Posune-li se píst působením tlakové síly kapaliny

F = pS o délku ∆x, vykoná práci

W = F∆x = pS∆x = p∆V

Touto prací je určena tlaková potenciální energie.

Proudění reálné kapaliny

Dříve uvedené rovnice byly odvozeny pro ideální kapalinu (bez vnitřního tření); důsledkem toho byl předpoklad o stejné rychlosti všech částic procházejících jistým průřezem

trubice. Proudnice částic ideální kapaliny se neprotínají.

V reálné kapalině tomu tak není. Působí síly vnitřního tření (vazkosti, viskozity), zpomalují pohyb částic. Přímo při stěně, v tzv. mezní vrstvě kapaliny, je rychlost částic rovna

nule a s rostoucí vzdáleností od stěny se postupně zvětšuje. Největší rychlosti dosahuje proud v ose trubice. Rozdělení rychlosti v průřezu trubice, tzv. rychlostní profil, je

parabolické.

Rozdělení proudění reálné kapaliny podle rychlosti:

laminární proudění – při menších rychlostech, tekutina proudí v myšlených vrstvách, které se za tření po sobě posouvají. Proudnice se neprotínají.

turbulentní proudění – částice tekutiny opisují při nepravidelné křivky, rychlost tekutiny v určitém bodě se nepravidelně mění co do velikosti i co do směru – turbulence.

Proudnice se protínají.

Obtékání těles

Obtékání těles reálnou tekutinou

Stojí-li v cestě proudící tekutině nějaká překážka, tekutina ji obtéká (např. voda v řece obtéká pilíře mostu)

K obtékání dochází i tehdy, pohybuje-li se těleso vzhledem k tekutině, která je v klidu (např. jedoucí automobil je obtékán vzduchem)

SHRNUTÍ:

K obtékání dochází tehdy, jestliže dochází k relativnímu pohybu pevných těles a tekutiny, v které se pevné těleso nachází

POPIS SAMOTNÉHO DĚJE

vlivem odporu prostředí, v kterém se těleso pohybuje, vznikají odporové síly, které působí proti pohybu tělesa

při menších rychlostech tělesa vzhledem k tekutině

vzniká

LAMINÁRNÍ PROUDĚNÍ

odporová síla F je malá

její velikost je přímo úměrná relativní rychlosti v

při větších rychlostech tělesa vzhledem k tekutině

vzniká

TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ

v důsledku vznikajících vírů je odporová síla značně veliká

její velikost vzrůstá s druhou mocninou relativní rychlosti v

potom pro velikost F platí tento vztah (Newtonův vztah):

Základní vlastnost C - závisí na tvaru tělesa

aerodynamický tvar tělesa = tvar tělesa ve tvaru kapky

Létání

a) balony (tělesa lehčí než vzduch) – nadnášeny vztlakovou silou (Archimedův zákon)

b) letadla (tělesa těžší než vzduch) – nesouměrný tvar křídla způsobí, že proudnice na horní straně křídla se zhuštují, kdežto na spodní straně se jejich průběh nezmění; nad

křídlem je tedy rychlost proudu větší než pod křídlem. Podle Bernoulliho rovnice je proto na horní straně křídla statický tlak vzduchu menší než tlak atmosférický, nastává

podtlak, který způsobuje nasávání horní části plochy vzhůru, kdežto pod křídlem vzniká přetlak, který tlačí nosnou plochu také nahoru.

Výslednici F všech sil působících na křídlo rozkládáme na svislou složku F

a vodorovnou složku F

(OBR. 25). Svislá složka, aerodynamická vztlaková síla, překonává tíhu

letounu. Vodorovná složka, aerodynamická odporová síla, je překonávána tahem vrtule nebo u proudových letounů tahem plynů vytékajících tryskou. Velikosti složek jsou

vyjádřeny vztahy:

Činitelé C

resp. C

se nazývají součinitel odporu resp. součinitel vztlaku; závisí na úhlu náběhu α a na tvaru křídla, určují se experimentálně ve vzduchových tunelech.

OBR. 25A OBR. 25B

Historické poznámky

Prvé letadlo pro klouzavý let sestrojil Otto Lilienthal, který se při pokusech o létáni zabil (1891). První letadlo s benzinovým motorem řídili bratří Wrightové (1903). Prvním českým letcem byl Jan Kašpar (1911 – první úspěšný let

z Pardubic do Prahy). Zakladatelem letecké aerodynamiky je ruský vědec Nikolaj Jegorovič Žukovskij (1847–1921; zákon vztlaku na rovnou plochu, teorie profilu nosné plochy letadla).

Vodní motory

Energie vody se využívá na pohon vodních motorů, které zužitkují pohybovou energii vody. Dva základní typy: vodní kola (využívají tíhu vody), vodní turbíny (využívají

kinetickou energii vody).

Vodní kola

Nejstarší vodní motory. Mají vodorovný hřídel, na němž je nasazen náboj ramenových hvězdic, nesoucí věnec s korečky. Vodní kola jsou dvojího druhu: a) kolo na vrchní vodu

(OBR. 26) určené pro menší množství vody a větší spád s účinností asi 70 %, b) kolo na spodní vodu (OBR. 27) pro větší množství vody a menší spád s účinností asi 60 %.

OBR. 26 OBR. 27 OBR. 28

Vodní turbíny

Mají lopatkové rozváděcí kolo (nehybné) a kolo oběžné. V rozváděcím kole (zařízení) se mění tlaková energie vody, příslušná spádu, v energii pohybovou a vodnímu proudu se

dává žádoucí směr (OBR. 28).

Peltonova turbína (OBR. 29) – vodní proud přichází jednou nebo více tryskami na část oběžného kola, opatřenou zahnutými miskami lopatek. Regulace množství vody proteklé

turbínou, a tím i jejího výkonu se provádí pohybem jehly, která se vsouvá do otvoru trysky a svým tvarem přitom mění šířku průtokové štěrbiny, kterou voda vytéká. Používá se

pro velké spády a menší průtočné množství.

Francisova turbína (1849) (OBR. 30) – vtok vody do turbíny se děje kolmo k ose hřídele po celém obvodu a je regulován natáčivými lopatkami rozváděcího kola; tím se

reguluje i výkon turbíny. Používá se pro střední a vyšší spády.

Kaplanova turbína (1919) (OBR. 31) – voda z rozváděcího kola s natáčivými lopatkami vtéká na oběžné kolo, které má rovněž natáčivé lopatky. Regulace výkonu se děje

změnou průtokového množství vody natáčením oběžných lopatek. Rozváděcí lopatky bývají obvykle pootočeny a zajištěny v nejvýhodnější poloze. Turbínu vynalezl Viktor Kaplan

z Brna (1876–1934). Energii proudících plynů využívají větrné motory; další použití je u bezmotorového létání, plachetních lodí apod.

OBR. 29 OBR. 30 OBR. 31