12) Mechanické vlnění
Vznik a druhy vlnění
VLNĚNÍ = proces šíření libovolného vzruchu v daném prostředí
jeden z nejrozšířenějších fyzikálních dějů
vlněním se šíří zvuk, světlo, rozhlasový, televizní i GSM signál
má různou fyzikální podstatu
MECHANICKÉ VLNĚNÍ = takové vlnění, které vzniká v pevných, kapalných a plynných látkách
podstatou mechanického vlnění je přenos kmitání látkovým prostředím, přičemž šíření vlnění není spojeno s přenosem látky
příčina vzniku a existence mechanického vlnění = existence vazebných sil mezi částicemi prostředí
zjednodušená představa: vazebné síly představovány pružinami
rozkmitá-li se jedna částice, potom se rozruch silami prostředí (pružné prostředí) přenese dál
ROZDĚLENÍ POSTUPNÉHO MECHANICKÉHO VLNĚNÍ:
POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ PŘÍČNÉ
všechny částice prostředí kmitají ve směru kolmém na směr šíření vlnění
Výskyt: v pevných látkách
POSTUPNÉ MECHANICKÉ VLNĚNÍ PODÉLNÉ
všechny částice prostředí kmitají ve směru šíření vlnění
Výskyt: v plynech (klasický příklad = zvuk)
VLNOVÁ DÉLKA
vzdálenost, do níž dospěje vlnění za periodu T
vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází
v ... FÁZOVÁ RYCHLOST VLNĚNÍ
rychlost, kterou se šíří vlnění daným prostředím
závisí na vlastnostech pružného prostředí
u příčného vlnění má vliv na rychlost šíření modul pružnosti ve smyku
u podélného vlnění má vliv na rychlost šíření hodnota modulu pružnosti v tahu
T ... PERIODA
f ... FREKVENCE kmitání zdroje vlnění
Rovnice postupné vlny
Víme:
výchylka kmitavého pohybu se mění podle funkce sinus (y = y
m
.sinωt)
Mějme:
rovinnou vlnu v řadě bodů kde:
Z ... zdroj vlnění
λ ... vlnová délka
v ... rychlost šíření vlnění
τ ... doba, za kterou dospěje vlnění do bodu M
Hledáme
vztah pro okamžitou výchylku bodu M vlnícího se prostředí
↓
z obrázku plyne, že zdroj Z bude s bodem M ve fázi (budou mít stejnou výchylku) právě tehdy, když
platí pro podélnou i příčnou postupnou vlnu
Srovnání kmitání a vlnění
veličiny popisující kmitavý pohyb jsou funkcemi času např. y = f(t)
veličiny popisující vlnění jsou funkcemi času a místa (polohy) např. y = f(t,x)
Interference a odraz vlnění
Interference (skládání) vlnění
skládání = interference vlnění
k tomuto jevu dochází tehdy, šíří-li se prostředím více vlnění stejného druhu
uplatňuje se PRINCIP SUPERPOZICE
(probíhá-li prostředím současně několik vlnění, je výsledné vlnění prostředí dáno algebraickým součtem původních vlnění prostředí)
skládaná vlnění se mohou lišit:
vlnovou délkou
amplitudou
fází
směrem šíření
potom je výsledné vlnění značně složité
provedeme následující ZJEDNODUŠENÍ
budeme skládat pouze 2 vlnění stejného směru, která mají navíc stejnou amplitudu, vlnovou délku a budou se šířit prostředím stejnou rychlostí
vztah pro okamžitou výchylku prvního vlnění v bodu M, které se šíří daným směrem ze zdroje Z
1
:
vztah pro okamžitou výchylku druhého vlnění v bodu M, které se šíří daným směrem ze zdroje Z
2
:
pro výslednou polohu bodu M prostředí platí:
o výsledku interference potom rozhoduje FÁZOVÝ ROZDÍL VLNĚNÍ ∆φ
SHRNUTÍ:
fázový rozdíl vlnění je přímo úměrný dráhovému rozdílu vlnění
(∆φ = k.d)
Speciální případy interference:
A
dráhový rozdíl je roven sudému počtu půlvln
potom
interferující vlnění se setkávají se stejnou fází
výsledná amplituda y
m
= y
m1
+ y
m2
nastává
INTERFERENČNÍ MAXIMUM
B
dráhový rozdíl je roven lichému počtu půlvln
potom
interferující vlnění se setkávají s opačnou fází
výsledná amplituda y
m
= y
m1
- y
m2
(pro y
m1
= y
m2
je y
m
= 0 a vlnění se vyruší)
nastává
INTERFERENČNÍ MINIMUM
SHRNUTÍ
Interferencí dvou vlnění o stejné vlnové délce vzniká výsledné vlnění, jehož amplituda je největší v místech, v nichž se vlnění
setkávají se stejnou fází, a nejmenší (popř. nulová) je v místech, v nichž se vlnění setkávají s opačnou fází.
Odraz vlnění v řadě bodů
podle upevnění koncového bodu řady kmitajících bodů rozlišujeme:
ODRAZ NA PEVNÉM KONCI
ZÁVĚR
na pevném konci nastává odraz vlnění s opačnou fází
(odražené vlnění má stejnou vlnovou délku jako původní vlnění, ale jeho fáze se změní
o π)
ODRAZ NA VOLNÉM KONCI
ZÁVĚR
na volném konci nastává odraz vlnění se stejnou fází
(odražené vlnění má stejnou vlnovou délku i fázi jako vlnění původní)
Stojaté vlnění
Stojaté vlnění = zvláštní případ interference dvou vlnění se stejnými frekvencemi a amplitudami, která postupují proti sobě
Vznik: odrazem postupujícího vlnění od pevné překážky
Vlastnosti stojatého vlnění vyplývající z předchozího appletu:
určité body stojatého vlnění mají stále nulovou amplitudu výchylky - tyto body nazýváme UZLY1.
určité body stojatého vlnění dosahují maximální amplitudy výchylky - tyto body nazýváme KMITNY2.
ostatní body kmitají s různou amplitudou výchylky, která je pro daný bod konstantní3.
poloha kmiten a uzlů se nemění4.
vzdálenost sousedních kmiten (popř. uzlů) je λ/2, kde λ je vlnová délka stojatého vlnění5.
vzdálenost nejbližší kmitny a uzlu je λ/4, kde λ je vlnová délka stojatého vlnění6.
SROVNÁNÍ POSTUPNÉHO A STOJATÉHO VLNĚNÍ
VLASTNOSTI POSTUPNÉ VLNĚNÍ STOJATÉ VLNĚNÍ
amplituda výchylky všech bodů do vzdálenosti λ/2 stejná různá
fáze všech bodů do vzdálenosti λ různá stejná
přenos mechanické energie ano ne
Šíření vlnění v prostoru
Chvění mechanických soustav
A) CHVĚNÍ STRUNY, TYČE, VLÁKNA
Chvění struny (tyče) = příčné stojaté vlnění
popis děje: struna (tyč) délky l je upevněna → v místě upevnění vzniká uzel stojatého vlnění
ptáme se: vlny jakých vlnových délek (frekvencí) mohou na této struně (tyči) vznikat?
Podle způsobu upevnění struny mohou nastat tyto případy:
STRUNA UPEVNĚNÁ
NA OBOU KONCÍCH
↓
potom
a tudíž
vyšší harmonické frekvence
STRUNA UPEVNĚNÁ
NA JEDNOM KONCI
↓
potom
a tudíž
vyšší harmonické frekvence
STRUNA UPEVNĚNÁ
UPROSTŘED (VE STŘEDU)
↓
potom
a tudíž
vyšší harmonické frekvence
SHRNUTÍ
V pružném tělese (struně, tyči, vlákně apod.) vzniká chvění jen s určitými frekvencemi, přičemž tyto frekvence nemají libovolnou hodnotu, ale jsou násobkem
tzv. základní frekvence, která závisí na geometrických rozměrech daného tělesa a na způsobu jeho upevnění.
B) CHVĚNÍ DESKY
pokus: posypání desky upevněné uprostřed jemným pískem → rozkmitání jejího okraje smyčcem → vzniká chvění, při němž se zrnka písku shromáždí v uzlech a vytvoří
charakteristické obrazce → CHLADNIHO OBRAZCE
Chladniho obrazce vznikající na čtvercové desce
Vlnění v izotropním prostředí, Huygensův princip
IZOTROPNÍ PROSTŘEDÍ = prostředí, které má ve všech bodech stejné fyzikální vlastnosti
znázornění procesu šíření vlnění v daném prostředí:
pojmy: zdroj vlnění, vlnoplocha (kulová), paprsek
pokud zdroj v nekonečnu - rovinná vlnoplocha, paprsky navzájem rovnoběžné
VLNOPLOCHA
= množina všech bodů, do kterých dospělo vlnění šířící se v daném prostředí ze zdroje za čas t
= množina všech bodů, které kmitají se stejnou fází
PAPRSEK
= kolmice k vlnoploše
= přímka určující směr šíření vlnění
HUYGENSŮV PRINCIP - popisuje proces šíření daného vlnění v prostoru
HUYGENSŮV PRINCIP - znění:
Každý bod vlnoplochy, do něhož dospělo vlnění v určitém okamžiku, můžeme pokládat za zdroj elementárního vlnění, které se z
něho šíří v elementárních vlnoplochách. Vlnoplocha v dalším časovém okamžiku je vnější obalová plocha všech elementárních
vlnoploch.
poznámky:
elementární vlnoplochy (viz obrázek v pravé části stránky)
modrá barva - původní vlnoplocha
šedivá barva - elementární vlnoplochy
červená barva - nová vlnoplocha vzniklá jako obalová plocha všech elementárních vlnoploch
Odraz vlnění
odraz vlnění = fyzikální jev, ke kterému dochází, dopadá-li vlnění na rozhraní dvou prostředí
S využitím Huygensova principu platí:
a, b ... dopadající paprsky
AB ... čelo dopadající vlnoplochy
CD ... čelo odražené vlnoplochy
z obrázku plyne:
trojúhelník ABD je shodný s trojúhelníkem DCA
(věta sss)
α' = α
α .... úhel dopadu
α¨.... úhel odrazu
Zákon odrazu slovy:
Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, přičemž odražený paprsek zůstává v rovině dopadu.
Lom vlnění
Lom vlnění = fyzikální jev, který nastává jestliže přechází vlnění z jednoho prostředí do druhého
LOM KE KOLMICI LOM OD KOLMICE
ZÁKON LOMU:
Poměr sinu úhlu dopadu a sinu úhlu lomu je pro daná dvě prostředí stálá veličina a rovná se poměru rychlostí
vlnění v obou prostředích. Tento poměr se nazývá index lomu vlnění (n) pro daná prostředí. Lomený paprsek
zůstává v rovině dopadu.
Ohyb vlnění
Ohyb (difrakce) vlnění = fyzikální jev, který vzniká tehdy
dopadá-li vlnění na překážku malých rozměrů.
dopadá-li vlnění na velkou překážku, v které se nachází malý otvor
Vlnění se v obou případech šíří i za překážkou - nastal OHYB VLNĚNÍ
Vysvětlení jevu pomoci Huygensova principu
překážky malých rozměrů malý otvor (štěrbina) na velké překážce
obecně platné pravidlo
Ohyb vlnění je při určitém rozměru překážky (otvoru) tím výraznější, čím je vlnová délka dopadajícího vlnění
srovnatelnější s rozměrem překážky nebo velikostí otvoru.
Porovnání zvukového a světelného vlnění z hlediska ohybu na běžných překážkách:
zvuk - vlnová délka ~10
-1
m, překážky ~10
-1
m - zvukové vlnění se ohne za překážku běžných rozměrů (slyšíme)
světlo - vlnová délka ~10
-7
m, překážky ~10
-1
m - světelné vlnění se kolem překážek běžných rozměrů neohne (nevidíme)
Vlastnosti a charakteristiky zvukového vlnění
Základní pojmy a rozdělení zvuků
ZVUK = mechanické vlnění látkového prostředí, které má schopnost vyvolat sluchový vjem. Pro lidské ucho jde zpravidla o vlnění
s frekvencí od 16 Hz do 20 000 Hz.
Nauka o zvuku se nazývá AKUSTIKA.
ZDROJ ZVUKU = každé chvějící se těleso určitou potřebnou frekvencí ve styku s pružným prostředím
ZVUKOVÉ VLNY = mechanické vlny pružného prostředí
ROZDĚLENÍ ZVUKŮ
NEPERIODICKÉ (NEHUDEBNÍ)
hluk, šramot, šum, hřmění, souhlásky
zvuky způsobeny nepravidelným chvěním prostředí
PERIODICKÉ (HUDEBNÍ)
hudební tóny, samohlásky
zvuky způsobeny pravidelným chvěním prostředí
zavádíme
JEDNODUCHÝ TÓN = periodický zvuk způsobený harmonickým mechanickým vlněním (vlněním, které má sinusový průběh)
Zdroje zvuku
sirena_savartova.jpg sirena_seebeckova.jpg
ZDROJ ZVUKU = každé chvějící se těleso určitou potřebnou frekvencí ve styku s pružným prostředím
Rozdělení zdrojů zvuku:
A) SIRÉNY
příčina vzniku zvuku: vznik pravidelných vzduchových nárazů
SAVARTOVA SIRÉNA
SEEBECKOVA SIRÉNA
B) STRUNY
napjaté vlákno
vznik stojatého vlnění
závislost frekvence struny na materiálu struny:
C) TYČE (LADIČKY)
upevněné uprostřed nebo na konci
vznik stojatého vlnění
v místě upevnění vždy uzel
volný konec vždy kmitna
zvuk vzniká nárazem nebo třením
D) DESKY (BLÁNY)
vznik uzlových čar (Chladniho obrazce - viz chvění mechanických soustav)
zvuk vzniká třením smyčcem nebo nárazem
E) VZDUCHOVÉ SLOUPCE (PÍŠŤALY)
kmity vzbuzovány nárazem proudu vzduchu na ostrou hranu (ret) - vznikají kmity různých frekvencí - zesílené pouze ty, jejichž kmitočet je shodný s vlastním
kmitočtem rezonátoru
OTEVŘENÉ PÍŠŤALY (zesilují všechny vyšší harmonické tóny)
UZAVŘENÉ PÍŠŤALY (zesilují pouze liché vyšší harmonické tóny)
JAZÝČKOVÉ PÍŠŤALY (KLARINET, SAXOFON)
zvuk se budí chvěním jazýčku, který otevírá a zavírá proud vzduchu
kmitočet zvuku je určen kmitočtem jazýčku
SHRNUTÍ
Zdroje zvuku jsou vlastně oscilátory, které mohou kmitat s řadou frekvencí. Tyto frekvence však nemají libovolnou hodnotu, ale jsou
násobky základní frekvence. Ta je určena geometrickými rozměry pružného tělesa, v němž vzniká chvění.
Rychlost zvuku
Rychlost zvuku = velikost rychlosti šíření mechanického vlnění, které vyvolává zvuk, daným prostředím v daném směru
rychlost zvuku závisí na:
prostředí a jeho vlastnostech
teplotě
ve vzduchu za hustoty ρ
0
= 1,293 kg.m
-3
je rychlost zvuku
v = (331,82 + 0,61.{t}) m.s
-1
při běžných teplotách: v = 340 m.s
-1
v pevných látkách a kapalinách je rychlost zvuku vyšší - např.:
voda (8°C) - v = 1435 m,s
-1
ocel (15°C) - v = 4980 m.s
-1
rychlost zvuku nezávisí na:
tlaku vzduchu
frekvenci zvuku
intenzitě zvuku
MĚŘENÍ RYCHLOSTI ZVUKU
v pevných látkách
tyč ze zkoumané látky se upevní uprostřed a třením se na ní vytvoří stojaté vlnění
tyč kmitá, přičemž její délka je rovna polovině vlnové délky
změřením frekvence můžeme potom dopočítat hledanou rychlost
v kapalinách
odrazem zvukového vlnění od dna nádrže (v = 2s/t, kde s je hloubka nádrže a t je čas)
v plynech
rezonanční metodou (změna délky sloupce vzduchu v trubici vyvolává zesilování zvuků ladičky)
potom v = 2.h.f, kde h je výška sloupce vzduchu v trubici
OZVĚNA a DOZVUK
souvisí s odrazem zvukových vln
využívá se biologické vlastnosti ucha, které je schopno rozlišit 2 zvuky v minimálním rozmezí 0,1 s
pro rychlost 340 m.s
-1
odpovídá časové rozmezí 0,1 s asi 17 metrům
potom ale musí platit:
jestliže překážka je ve vzdálenosti 17 metrů, potom vzniká jednoslabičná ozvěna
jestliže překážka je ve vzdálenosti k.17 metrů, potom vzniká k-slabičná ozvěna
jestliže překážka je ve vzdálenosti menší než 17 metrů, potom vzniká DOZVUK (prodlužuje se trvání zvuku)
nevýhodné v koncertních sálech, proto např. závěsy v učebně hudební výchovy
Základní vlastnosti a veličiny charakterizující zvuk
VÝŠKA ZVUKU (TÓNU)
je určena jeho frekvencí
zavádíme veličiny:
ABSOLUTNÍ VÝŠKA TÓNU = veličina určená frekvencí kmitání zdroje jednoduchého tónu
RELATIVNÍ VÝŠKA TÓNU = veličina určená poměrem kmitočtu daného tónu, ke kmitočtu tónu, který se volí jako základní
základní tóny:
v hudbě: komorní a (a
1
) - f = 440 Hz
v technice: tón o frekvenci 1000 Hz
poznámka: základní stupnice
tón c d e f g a h c´
do re mi fa so la si do
f (Hz) 262 294 330 349 392 440 494 524
zajímavost: tóny v oktávě mají 2 x větší kmitočet (fc´= 2.fc)
BARVA ZVUKU (TÓNU)
pomocné pojmy:
vyšší harmonické tóny = tóny, jejichž frekvence je rovna celočíselnému násobku frekvence základního tónu
složený tón = tón složený z jednoduchého základního tónu a jistého počtu vyšších harmonických tónů, jejicž kmitočty jsou násobkem kmitočtu základního tónu
BARVA ZVUKU potom charakterizuje složený tón počtem vyšších harmonických tónů
v praxi:
podle barvy zvuku můžeme subjektivně rozlišit dva složené tóny, které mají stejnou výšku, ale vydávají jej různé zdroje zvuku (např. stejné tóny hrané houslemi,
klarinetem a pianem)
HLASITOST ZVUKU
je vlastnost subjektivního vjemu vyjadřující silové působení zvuku na normální sluch
zvuková vlna = periodické rozpínání a stlačování pružného prostředí (vzduch, voda), projeví se jako periodické změny tlaku vzduchu
citlivost ucha:
∆p = 10
-5
Pa ................... nejnižší hranice - PRÁH SLYŠENÍ
∆p = 10
2
Pa .................... nejvyšší hranice - PRÁH BOLESTI
Hlasitost zvuku závisí na:
frekvenci zvuku (nejcitlivější na zvuk o frekvenci 4 kHz)
íntenzitě zvuku
INTENZITA ZVUKU
veličina objektivně charakterizující sílu zvuku
jednotka: bel (B)
v praxi jednotka 10 x menší: decibel (dB)
práh slyšení: 0 dB
práh bolesti: 120 dB
Hodnoty intenzity zvuku [dB] pro některé zvuky
Zvuk dB Zvuk dB
práh slyšení člověka s dobrým uchem (při frekvencích 1 ÷ 5 kHz) 0 křik, hlučná ulice, potlesk v sále, přelet letadla 70
zvukově izolované studio 10 hluk ve vlaku, v metru, v letadle; symfonický orchestr hraje forte 80
velmi klidná krajina daleko od civilizace za bezvětří 20 projíždějící hlučné nákladní auto nebo vlak zblízka, není rozumět řeči 90
klidná krajina 30 nýtování, sbíječka, klaxon auta zbízka 100
klidný byt, klidná zahrada v obytné čtvrti 40 hlučná diskotéka, nelze se dorozumět ani křikem 110
klidný rozhovor, kancelář, klidná ulička v malém městě 50 tryskový motor zblízka, siréna velké námořní lodě zblízka 120
hlasitý rozhovor, hlučnější obchod, restaurace, ulice 60 práh bolesti 130
Dopplerův jev
Dopplerův jev = fyzikální jev, ke kterému dochází při vzájemném pohybu zdroje zvuku a pozorovatele (přijímače)
(dochází ke změně frekvence - pozorovatel vnímá zvuk jiné frekvence, než je frekvence zdroje)
Objasnění a vysvětlení jevu: Christian Doppler - rakušan (1803-1853) - v roce 1843
Možné případy:
ZDROJ V KLIDU
PŘIJÍMAČ (POZOROVATEL) V POHYBU
u ... rychlost pohybu pozorovatele
v ... rychlost zvuku
u < v
Přijímač (pozorovatel P1) se vzdaluje od zdroje
menší počet vlnoploch za jednotku času
snížení frekvence
Přijímač pozorovatel P2) se přibližuje ke zdroji
větší počet vlnoploch za jednotku času
zvýšení frekvence
ZDROJ V POHYBU
PŘIJÍMAČ (POZOROVATEL) V KLIDU
w ... rychlost pohybu zdroje
v ... rychlost zvuku
w < v
Zdroj se vzdaluje od pozorovatele P1
zvětšování vzdáleností mezi vlnoplochami
zvětšování vlnové délky
potom
porovnáním frekvencí zjistíme
snížení frekvence
Zdroj se přibližuje k pozorovateli P2
snižování vzdáleností mezi vlnoplochami
snižování vlnové délky
potom
porovnáním frekvencí
zvýšení frekvence
Využití v praxi:
měření rychlosti automobilu pomocí radaru
určování rychlosti vesmírných objektů (na základě změn vlnové délky záření, které vyzařují - rudý posuv)
