13) Kmitavý pohyb
Pohyb periodický, kmitavý a harmonický
Kmitavý pohyb
Popis kmitavého pohybu:
pohybující se těleso při kmitavém pohybu zůstává stále v okolí určitého bodu, který nazýváme rovnovážná poloha
jestliže těleso navíc pravidelně prochází rovnovážnou polohou, koná periodický kmitavý pohyb
Praktické příklady takových pohybů:
těleso zavěšené na pružině
tlukot našeho srdce
struna hudebního nástroje
...
MECHANICKÝ OSCILÁTOR = zařízení, které volně (bez vnějšího působení) kmitá
známe dva základní typy mechanických oscilátorů:
ZÁVAŽÍ NA PRUŽINĚ
příčina kmitání: síla pružnosti
trajektorie: část přímky
KYVADLO
příčina kmitání: pohybová složka tíhové síly
trajektorie: část křivky (kružnice)
Základní charakteristika kmitavého pohybu:
je to pohyb nerovnoměrný (velikost okamžité rychlosti se mění)
je to pohyb periodicky se opakující
KMIT = periodicky se opakující část kmitavého pohybu
Kmitavý pohyb (kmit) charakterizují dvě veličiny:
PERIODA (T) = doba jednoho kmitu (jednotka: sekunda)
FREKVENCE (f) = počet kmitů za jednu sekundu (jednotka: s
-1
= Hz ... Hertz)
platí: f = 1/T
Kinematika kmitavého pohybu
Harmonické kmitání
Kinematicky popsat kmitavý pohyb znamená vyjádřit okamžitou polohu mechanického oscilátoru v závislosti na čase. Popíšeme tělesa
zanedbatelných rozměrů, které kmitá ve směru osy y a které má rovnovážnou polohu v počátku soustavy souřadnic.
V případě popisu kmitavého pohybu tělesa, jehož rozměry není možné ve zvolené soustavě zanedbat, je rozumnější popisovat pohyb nikoliv
celého tělesa, ale pouze pohyb jeho těžiště.
Jestliže mechanický oscilátor kmitá, je jeho okamžitá poloha určena souřadnicí y, která se nazývá okamžitá výchylka. Okamžitá výchylka se
s časem mění v závislosti na funkci sinus - nabývá tedy kladných i záporných hodnot (viz obr. 1). Absolutní hodnota největší výchylky se nazývá
amplituda výchylky (maximální výchylka) .
Fakt, že grafem závislosti okamžité výchylky na čase je sinusoida, lze ověřit např. rozkmitáním závaží na pružině a chůzí s kmitajícím
oscilátorem. Tak dostaneme z pohledu kolmého ke směru pohybu oscilátoru krásnou sinusoidu.
Obr. 1 Obr. 2 Obr. 3
Vztah pro okamžitou výchylku najdeme srovnáním kmitavého pohybu s pohybem po kružnici (viz obr. 2). Kulička pevně připevněná na rotující
desce i kulička na pružině vrhají na stínítko stín. „Zařízení“ lze synchronizovat tak, že stíny obou kuliček na stínítku se pohybují shodně (stíny se stále
překrývají). Kmitavému pohybu tedy odpovídá průmět pohybu rovnoměrného pohybu po kružnici do svislé roviny. Pomocí těchto úvah a obr. 2 již
snadno odvodíme rovnici pro okamžitou výchylku.
Na obr. 3 je znázorněn hmotný bod M, který se pohybuje po kružnici stálou úhlovou rychlostí o velikosti . Okamžitá poloha bodu M je určena
polohovým vektorem , který svírá s osou x úhel . Hmotný bod M byl v čase v bodě X, tedy v tomto čase je . V čase platí .
Průmět okamžitých výchylek vektoru do osy y je vektor určující okamžitou výchylku hmotného bodu. Pro okamžitou výchylku y (velikost vektoru
) platí: .
Srovnáme nyní stín hmotného bodu M se stínem kmitající kuličky zavěšené na pružině. Nachází-li se hmotný bod M v nejvyšším bodě kružnice, je
kmitající kulička (jejíž pohyb je s bodem M synchronizován) právě v amplitudě svého pohybu. Proto poloměru r odpovídá amplituda . Lze tedy pro
okamžitou výchylku y psát: . Úhel se nazývá fáze kmitavého pohybu a určuje jednoznačně okamžitou výchylku. U kmitavých
pohybů se používá pro termín úhlová frekvence a platí .
Graf zobrazený na obr. 1 odpovídá kmitavému pohybu, který má amplitudu výchylky a periodu . Okamžitou výchylku v závislosti na čase
lze tedy popsat rovnicí .
V těchto rovnicích bývá zvykem za nedosazovat hodnotu 3,1415926…, ale nechat v rovnici symbol . Je to výhodnější pro další výpočty,
pro zakreslování grafů, …
Jedinou neznámou v této rovnici tak je čas t. Pokud by nás zajímala např. okamžitá výchylka v čase , stačí do rovnice dosadit:
. S obr. 1 to koresponduje.
PERIODICKÝ POHYB, JEHOŽ GR A FEM ZÁ VIS L OS TI OKA M ŽITÉ VÝC HYL KY NA ČA SE JE S INUS OIDA , S E NA ZÝVÁ H A R M ONIC KÝ
POHYB.
Sinusoidou zde budeme rozumět základní graf funkce včetně jeho libovolného posunu po libovolné ose.
Složené kmitání
Složené kmitání vzniká tehdy, jestliže kmitající těleso vykonává více kmitavých pohybů najednou.
Pro výslednou okamžitou výchylku kmitajícího tělesa platí tzv. PRINCIP SUPERPOZICE
Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických kmitavých pohybů téhož směru s výchylkami y
1
, y
2
, ... y
n
, je výchylka y výsledného kmitání
y = y
1
+ y
2
+ ... + y
n
Výchylky mohou mít v určitém okamžiku kladnou i zápornou hodnotu. Proto se při superpozici sčítají a odečítají.
Budeme skládat dva harmonické kmity, které jsou obecně popsány rovnicemi:
první kmitavý pohyb: y
1
= y
1m
.sin(ω
1
t+φ
1
)
druhý kmitavý pohyb: y
2
= y
2m
.sin(ω
2
t+φ
2
)
oba pohyby se mohou lišit
amplitudou (y
1m
≠ y
2m
)
úhlovou frekvencí (ω
1
≠ ω
2
)
počáteční fází (φ
1
≠ φ
2
)
a směrem (není na rovnicích vidět)
potom je výsledné kmitání značně složité
ZJEDNODUŠENÍ
A) skládání dvou rovnoběžných kmitů (kmitů stejného směru)
a) navíc stejná úhlová frekvence ( ω
1
= ω
2
) - IZOCHRONNÍ KMITÁNÍ
Postup při grafickém znázornění výsledného kmitu:
zakreslíme časový rozvoj obou pohybů do jednoho diagramu
výsledný pohyb (okamžitou výchylku y) potom získáme grafickým součtem
obecně je fázový rozdíl φ
2
- φ
1
≠ 0
potom mohou nastat speciální případy (podle fázového rozdílu skládaných kmitavých pohybů):
skládání kmitů stejné fáze
φ
2
- φ
1
= 0 (φ
2 =
φ
1
)
izochronní kmitání se při stejné počáteční fázi superpozicí zesiluje
skládání kmitů opačné fáze
φ
2
- φ
1
= π
izochronní kmitání se při opačné počáteční fázi superpozicí zeslabuje (dokonce
při y
1m
= y
2m
se kmity vyruší)
ZÁVĚR
Skládáním dvou harmonických kmitání stejného směru a o stejné frekvenci vzniká opět harmonické kmitání téže frekvence. Jeho amplituda závisí na fázovém
rozdílu složek.
b) navíc různá úhlová frekvence (ω
1
≠ ω
2
)
ZÁVĚR
výsledné složené kmitání není harmonické
zvláštní případ - úhlové frekvence jednotlivých pohybů se jen velmi málo liší
ZÁVĚR:
vznik RÁZŮ
Zrychlení kmitavého pohybu
Fáze kmitavého pohybu
v minulých případech jsme předpokládali:
v počátečním okamžiku je oscilátor v rovnovážné poloze (pro t = 0 je y = 0)
v praxi často: pro t = 0 je y ≠ 0
potom
ČASOVÝ DIAGRAM ZÁVISLOSTI y na t MATEMATICKÝ POPIS
FÁZOVÝ ROZDÍL = rozdíl počátečních fází veličin se stejnou frekvencí
např.:
KINEMATIKA KMITAVÉHO POHYBU - shrnutí
Základní rovnice popisující jednoduchý kmitavý pohyb z hlediska kinematiky:
Grafy popisující mechanický oscilátor
Pro snazší pochopení a uvědomění si vzájemných vazeb jsou na obr. 6 znázorněny grafy, které vyjadřují časovou závislost veličin
charakterizujících mechanický oscilátor:
1. graf závislosti okamžité výchylky na čase:
2. graf závislosti velikosti okamžité rychlosti na čase:
3. graf závislosti velikosti okamžitého zrychlení na čase:
Obrázek je nakreslen pro tyto speciální hodnoty: perioda , amplituda výchylky , počáteční fáze .
Obr. 6
V tab. 2 jsou uvedeny „speciální“ hodnoty okamžité výchylky, velikosti okamžité rychlosti a velikosti okamžitého zrychlení v rámci jedné periody.
Časové okamžiky jsou počítány pro obecný případ, kdy rovnice okamžité výchylky má tvar . Odtud je možné vypočítat čas
průchodu mechanického oscilátoru rovnovážnou polohou (tj. okamžik, kdy poprvé bude ): , odtud . Z vlastností
funkce sinus vyplývá , odkud pro čas průchodu mechanického oscilátoru rovnovážnou polohou dostáváme .
Maximální hodnoty uvedené v tab. 2 při čtení daného řádku postupně střídají znaménka.
Časový okamžik (v rámci jedné periody T)
okamžitá výchylka nulová maximální nulová maximální nulová
velikost okamžité rychlosti maximální nulová maximální nulová maximální
velikost okamžitého zrychlení nulová maximální nulová maximální nulová
tab. 2
Harmonický pohyb z hlediska dynamiky
Perioda pružinového oscilátoru a kyvadla
PRUŽINOVÝ OSCILÁTOR
(kmitající pružina se zavěšeným závažím)
vztah pro periodu pružinového oscilátoru:
parametry pružinového oscilátoru:
m ... hmotnost závaží
k ... tuhost pružiny
KYVADLO
(jakékoliv těleso zavěšené nad těžištěm, které se může volně otáčet kolem vodorovné
osy procházející bodem závěsu kolmo k rovině kmitání)
vztah pro periodu matematického kyvadla:
l ... délka závěsu
g ... tíhové zrychlení
SHRNUTÍ
Perioda vlastního kmitání pružinového oscilátoru závisí pouze na jeho
parametrech, tj, na hmotnosti m tělesa a tuhosti pružiny k.
SHRNUTÍ
Perioda vlastního kmitání kyvadla závisí pouze na délce závěsu l a nezávisí
na hmotnosti m a výchylce y
Dynamika kmitavého pohybu - těleso na pružině
Dynamika kmitavého pohybu - kyvadlo
Kyvadla
Matematické kyvadlo
zanedbání tření v místě závěsu a odporu vzduchu
úhlová frekvence
perioda
rovnice
Fyzické kyvadlo
potenciální energie kyvadla se mění v kinetickou energii rotačního pohybu
úhlová frekvence
Kónické kyvadlo
kyvadlo, kterému je udělena taková rychlost, aby závěs opisoval plášť rotačního kužele
hmotný bod se pohybuje po kružnici, takže na něj působí dostředivá síla, kterou lze rozložit na sílu tíhovou a tahovou sílu závěsu
úhlová frekvence
Blackburnovo kyvadlo
slouží k zviditelnění Lissajousových obrazců, které vznikají při skládaní dvou kolmých kmitů
v podstatě dvě matematická kyvadla s délkami závěsů l
1
a l
2
periody
kyvadlo (nádobka s pískem) bude opisovat Lissajousovy obrazce, pokud bude následující rovnice vyjádřena podílem dvou celých čísel
Torzní kyvadlo
je tuhé těleso zavěšené na pružném závěsu
toto těleso přitom může volně kmitat ve vodorovné rovině kolem podélné svislé osy závěsu
perioda:
Foucaltovo kyvadlo
kyvadlo pojmenované po francouzském fyzikovi Foucaultovi, představuje důležitý experiment potvrzující otáčení planety Země kolem své osy
jedná se o velmi dlouhé těžké kyvadlo s dlouhou dobou kmitu, rovina kmitu se ale postupem času mění v důsledku tzv. Coriolisovy síly
animace:
Balistické kyvadlo
zařízení pro určování hybnosti projektilu, z níž je možné určit rychlost a kinetickou energii
balistické kyvadlo bylo nahrazeno modernějšími metodami měření rychlosti projektilu
rychlost
Těleso na pružině
Vlastnosti mechanického oscilátoru, který realizujeme závažím zavěšeným na pružině, jsou dány hmotností m tohoto tělesa a tuhostí pružiny k.
Zavěsíme-li na pružinu délky závaží o hmotnosti m, začne působit na pružinu síla, která je úměrná prodloužení pružiny . Konstantou úměrnosti je
tuhost pružiny k definovaná vztahem ; . V rovnovážné poloze na pružinu se závažím působí síla pružnosti o velikosti a síla
tíhová , která má stejnou velikost, ale opačný směr. Proto .
Síla pružnosti se snaží vrátit pružinu do původního nedeformovaného stavu (ještě před zavěšením závaží). Po zavěšení závaží na pružinu míří
síla pružnosti tedy vždy směrem vzhůru.
Uvedeme-li oscilátor do kmitavého pohybu, tíhová síla je stálá (má stejnou velikost i směr). Mění se ale velikost síly pružnosti, protože se neustále
mění výchylka tělesa zavěšeného na pružině (viz obr. 12. Pro výslednou sílu platí . Pro velikost této síly lze psát:
.
Opět je nutné si uvědomit, že okamžitá výchylka oscilátoru je měřená od rovnovážné polohy. Nachází-li se oscilátor pod rovnovážnou polohou
svého kmitavého pohybu (poslední zakreslená situace na obr. 12), míří síla směrem vzhůru.
V případě, kdy se oscilátor nachází nad rovnovážnou polohou, míří síla směrem dolů. Jinými slovy: síla má vždy opačný směr ve srovnání
s výchylkou oscilátoru.
Síla působící na mechanický oscilátor směřuje stále do rovnovážné polohy a je příčinou kmitavého pohybu (viz obr. 12).
Obr. 12
Porovnáme-li odvozenou velikost síly s pohybovou rovnicí harmonického kmitání, můžeme psát: , odkud dostáváme . Kmitá-li
oscilátor s úhlovou frekvencí , nazýváme toto kmitání vlastní kmitání oscilátoru. Odtud již snadno odvodíme vztahy pro periodu
a frekvenci vlastního kmitání: a .
Energie kmitavého pohybu
Při harmonickém pohybu se periodicky mění potenciální energie mechanického oscilátoru v energii kinetickou a naopak, přičemž
celková energie E
C
se nemění.
vzájemná přeměna kinetické energie v potenciální energii oscilátoru:
1. horní úvrať 2. rovnovážná poloha 3. dolní úvrať
Kmity vlastní a nucené, tlumené a netlumené
Tlumené a nucené kmitání mechanického oscilátoru
mějme samovolné kmitání pružinového oscilátoru, které nazýváme vlastní kmitání oscilátoru
vlivem ztrát po čase zaniká - takové kmitání nazýváme TLUMENÉ
(část mechanické energie se přemění na jiné formy - vnitřní, tepelnou, ...)
velikost tlumení závisí na:
hustotě prostředí (ve vodě se kmitání utlumí dříve než na vzduchu)
velikosti rychlosti jeho pohybu
časový diagram tlumených kmitů:
modrá barva - exponenciální křivka útlumu, červená barva - časový rozvoj kmitavého pohybu
matematický popis pohybu:
y = e
-bt
.y
m
.sin(ωt +φ
0
), kde b tzv. koeficient tlumení
udržení kmitání zajistíme tehdy, jestliže budeme zvnějšku dodávat energii
MOŽNÉ ZPŮSOBY DODÁVÁNÍ ENERGIE
A
v určitých časových intervalech
(např. úderem)
vzniká
NETLUMENÉ KMITÁNÍ, které NENÍ HARMONICKÉ
B
během celé periody
(např. působením proměnlivé síly F = F
m
.sinωt)
vzniká
NETLUMENÉ HARMONICKÉ KMITÁNÍ,
které nazýváme
NUCENÉ KMITÁNÍ OSCILÁTORU
poznámka:
nucené kmitání může vzniknout i v soustavě, která nemá vlastnosti oscilátoru a sama o sobě by nekmitala
Tlumené kmitání
Zákon zachování energie byl odvozen za předpokladu, že oscilátor kmitá volně, tj. nepůsobí na něj žádné vnější síly, které by jeho pohyb rušily.
V tom případě by totiž jeho amplituda zůstávala konstantní a oscilátor by kmital neomezeně dlouho. Tento poznatek je ale v rozporu s praxí, kdy se
amplituda kmitajícího oscilátoru postupně zmenšuje.
Tlumené kmitání znáte z praxe. Už jako malé děti, když jsme se houpali na houpačkách (tzv. lodičkách), jsme museli neustále dodávat energii,
abychom udrželi houpačku v kmitavém pohybu. Přitom jsme energii mohli dodávat sami (pohupování v kolenou) a nebo zvenčí (maminka do
houpačky strkala, aby jí dodala energii, kterou houpačka při jednom svém kmitu ztratila.
To je způsobeno přeměnou části energie kmitavého pohybu na jiné formy energie (vnitřní energie okolí i oscilátoru, vynaložení práce na překonání
třecích sil, …). Díky těmto ztrátám, kterým nikdy nelze zcela zabránit, vzniká tlumené kmitání (viz obr. 22). Rychlost útlumu závisí na prostředí,
v němž oscilátor kmitá.
Tlumení závisí na hustotě prostředí, v němž oscilátor kmitá, na velikosti rychlosti jeho pohybu, … Proto je tlumení např. ve vodě větší než ve
vzduchu.
Obr. 22
Tlumené kmitání je možno popsat rovnicí: , kde b je koeficient útlumu. Body, které mají maximální výchylku téhož
znaménka, leží na grafu exponenciální funkce.
Vlastní kmitání oscilátoru je vždy tlumené. Tlumení má vliv také na periodu: tlumený oscilátor kmitá volně s větší periodou, než jakou by měl
netlumený oscilátor se stejnými parametry. Tlumení kmitání má v praxi značný význam: jsou situace, kdy požadujeme malé tlumení kmitání, ale na
druhé straně jsou situace, kdy je kmitání nežádoucí a kdy je uměle tlumíme.
Tlumiče pérování automobilů, tlumení pohybu ručky měřících přístrojů, …
V závislosti na velikosti tlumení harmonického oscilátoru může dojít k následujícím dvěma situacím:
1. tlumení je kritické - pohyb oscilátoru je takový, že oscilátor se za nejkratší možnou dobu ustálí v rovnovážné poloze (viz obr. 23)
2. tlumení je nadkritické - jedná se o neperiodický (aperiodický) pohyb, kdy se oscilátor bude pomalu vracet do své rovnovážné polohy (viz
obr. 24)
Obr. 23 Obr. 24
Nucené kmitání mechanického oscilátoru
Z praxe víme, že chceme-li udržet těleso v kmitavém pohybu, je nutno jej pravidelně rozkmitávat, neboť jinak se oscilátor vlivem tlumení za
určitou dobu zastaví
Houpačku udržíme v pohybu pravidelnými nárazy nebo změnou polohy těžiště, …
Budeme-li na konci každé periody kompenzovat ztráty energie, které vznikly tlumením kmitavého pohybu, bude (při určité velikosti působící síly)
amplituda výchylky stálá a oscilátor bude kmitat netlumeně. Netlumeného kmitání jsme dosáhli vnějším působením na oscilátor - mezi oscilátorem
a jeho okolím vznikla vazba. Oscilátor nekmitá volně - je ovlivňován okolím.
Tímto způsobem realizované kmitání je sice netlumené, ale není harmonické. Abychom získali kmitání harmonické, bylo by nutno nahrazovat
ztráty v průběhu celé periody (a ne najednou na jejím konci) nepřetržitým působením vnější síly , která se s časem mění harmonicky, tj. podle
vztahu .
V příkladu s houpačkou by maminka musela s houpačkou běhat tam a zpátky a přitom houpačce dodávat přesně tu energii, o kterou vlivem
ztrát přišla. Takový styl houpání je ale v praxi nepoužitelný …
Tak vznikne netlumené harmonické kmitání, které je vynucováno vnější silou - nucené harmonické kmitání mechanického oscilátoru. Lze
ukázat, že oscilátor při nuceném kmitání kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení. Tím se liší nucené kmitání od kmitání vlastního, kterému přísluší jen
jediná frekvence (vlastní frekvence).
Z hlediska praktického uplatnění je důležité, že takto lze rozkmitat i objekt, který vlastnosti oscilátoru nemá. Vlastnosti objektu nemají vliv na
frekvenci kmitání, ale mohou značně ovlivnit amplitudu výchylky nebo fázi kmitavého pohybu.
Rezonance
pokus:
maximální amplituda v bodě 2
nastala
REZONANCE OSCILÁTORU
(frekvence nucených kmitů je rovna vlastní frekvenci oscilátoru)
REZONANČNÍ KŘIVKA = graf vyjadřující závislost amplitudy (y
m
) na úhlové frekvenci ω
REZONANCE = fyzikální jev, který vzniká při vzájemném působení dvou oscilátorů
A) SPŘAŽENÁ KYVADLA (VÁZANÉ OSCILÁTORY)
dvě stejná kyvadla spojená pružinou nebo vláknem se závažím
O ... oscilátor (zdroj nuceného kmitání)
R ... rezonátor (působením zdroje se nucené rozkmitá)
Z ... závaží + vlákno = VAZBA (zprostředkovává přenos energie mezi oscilátorem a rezonátorem)
vazba může být:
VOLNÁ
pomalé přenášení energie z oscilátoru na rezonátor
potom je
amplituda nucených kmitů malá
B) REZONANČNÍ KOLÉBKA
TĚSNÁ
rychlé přenášení energie z oscilátoru na rezonátor
potom je
amplituda nucených kmitů velká
C) VOLNĚ ZAVĚŠENÁ KYVADLA
Užití v praxi
REZONANCE V PRAXI
Výhody
zesílení zvuku hudebních nástrojů (struna, těleso kytary)
ozvučnice reproduktorů
ladící obvod rozhlasového přijímače
přístroje na měření frekvence (jazýčkový kmitočtoměr)
chvění (Chladniho obrazce) - budeme brát u mechanického vlnění
rezonanční cyklotron (zařízení k urychlování částic)
...
Nevýhody:
vznik nežádoucího rezonančního kmitání u strojních zařízení, která konají otáčivý pohyb
pérování sedadel automobilu na hrbolaté silnici (prevence: tlumiče, změna vlastní frekvence, zvýšení tření)
možné rozkmitání konstrukcí, staveb (velmi nebezpečné u mostů...)
...
V praxi se k potlačení nežádoucího kmitání používají tyto 3 způsoby:
1. změna vlastní frekvence mechanismu
2. doplnění mechanismu tlumičem kmitání
3. zvětšení tření mechanismu
