19) Elektromagnetická indukce

Základní pokusy

Elektromagnetická indukce

Doposud jsme uvažovali vždy takové magnetické pole, jehož B = konst. (vodičem procházel vždy konstantní proud) - STACIONÁRNÍ

MAGNETICKÉ POLE

NESTACIONÁRNÍ MAGNETICKÉ POLE = je takové pole, jehož B se v závislosti na čase mění

Možné případy :

Nepohybující se vodič s časově proměnným proudem1.

Pohybující se vodič s časově proměnným nebo konstantním proudem2.

Pohybující se permanentní magnet nebo elektromagnet3.

Elektromagnetická indukce

Pokus

- pohyb magnetu v dutině cívky (vzájemný pohyb cívky a magnetu)

- nestacionární magnetické pole

- v cívce vzniká elektromotorické napětí, obvodem prochází indukovaný proud

Nestacionární magnetické pole je příčinou vzniku indukovaného elektrického pole a tento jev nazýváme

ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE.

Na koncích cívky vzniká při tomto jevu indukované elektromotorické napětí U

a uzavřeným obvodem prochází indukovaný

elektrický proud I

Využití elektromagnetické indukce :

Elektrický kytarový snímač

Rozkmitáme-li kovovou strunu, která působí jako magnet, indukuje se kolem struny nestacionární magnetické pole, které mění magnetický

indukční tok v cívce. Indukovaný proud v cívce měmí svůj směr se stejnou frekvencí jako kmity struny a přenáší tyto kmity do zesilovače a

reproduktoru.

Vaření na indukčních kamnech

Cívka, umístěná přímo pod varnou plochou, je napájena vysokofrekvenčním střídavým proudem. Magnetické pole vytvořené tímto proudem

se periodicky mění a indukuje proud ve vodivé pánvi. Protože má materiál pánve nenulový odpor, vyvíjí se v ní teplo a dochází k ohřevu

jídla, které se v ní připravuje. Sama varná plocha se přitom nezahřívá.

Elektromagnetická indukce

Nestacionární magnetické pole je možné vytvořit tak, že budeme pohybovat magnetem. Budeme-li jím pohybovat v blízkosti cívky, k níž je

připojen voltmetr, je možné na voltmetru pozorovat výchylku. Výchylka při přiblížení a oddálení magnetu je opačná. Mezi elektrickým a magnetickým

polem je těsná souvislost - nestacionární magnetické pole je příčinou vzniku nestacionárního elektrického pole (a naopak). Projevem tohoto pole je

časově proměnné napětí na koncích cívky.

Příčina vzniku elektrického napětí ve vodiči umístěném v nestacionárním magnetickém poli vyplývá z chování nabitých částic v magnetickém

poli. Časově proměnná síla uvede do pohybu volné nosiče náboje (v kovech to jsou elektrony) a vytvoří se nerovnovážný stav. Mezi konci vodiče je

proto možné naměřit elektrické napětí.

Nestacionární pole je příčinou vzniku indukovaného elektrického pole a tento jev nazývá elektromagnetická indukce. Na koncích cívky

vzniká indukované elektromotorické napětí a uzavřeným obvodem prochází indukovaný proud .

Pozor! Neplést dva pojmy: magnetická indukce je fyzikální veličina, zatímco elektromagnetická indukce je fyzikální jev!

Elektromagnetická indukce nastane i v případě zapojení obvodu podle schéma na obr. 102. Nestacionární magnetické pole vzniká jako důsledek

změn proudu v primární cívce

, která je vzhledem k cívce sekundární

v klidu. Při sepnutí vypínače v obvodu primární cívky vzniká

v sekundární cívce indukované napětí a ručka voltmetru se vychýlí na jednu stranu. Při rozpojení vypínače je výchylka opačná.

Pokus je možné vysvětlit z různých vztažných soustav různě, jiným principem vzniku napětí, ale ve všech případech je výsledek stejný.

V případě dlouhodobě sepnutého vypínače se v sekundární cívce nebude indukovat žádné napětí. Elektrický proud procházející primární cívkou

se totiž ustálí na určité hodnotě a v cívce (a kolem ní) vznikne stacionární magnetické pole.

Obr. 102

Indukované elektrické pole se liší od elektrického pole tvořeného náboji (to jsme označili jako zřídlové pole). Siločáry indukovaného elektrického

pole jsou uzavřené křivky - jde tedy o pole vírové. Magnetické pole může být je vírové, zatímco elektrické pole může být buď vírové nebo zřídlové.

Rozdíly mezi uvedenými typy polí:

1. pole zřídlové - siločáry začínají na kladně nabitých tělesech a končí na záporně nabitých. Pohybuje-li se částice s nábojem po uzavřené

křivce, je celková vykonaná práce nulová.

2. pole vírové - siločáry jsou uzavřené a práce, která se vykoná při pohybu částice s jednotkovým nábojem po uzavřené křivce, je číselně

rovna indukovanému napětí (a tedy je nenulová).

Magnetický indukční tok

Magnetický indukční tok = skalární fyzikální veličina kvantitativně popisující elektromagnetickou indukci

S ... obsah rovinné plochy

n ... normála k ploše S

B ... vektor magnetické indukce

α ... úhel, který svírá normála s vektorem B

Φ = B . S . cos α

Φ ... magnetický indukční tok

Vlastnosti magnetického indukčního toku :

je to skalár

jednotka : weber (Wb)

jestliže plocha kolmá k vektoru B potom α = 0°, cos α = 1 ... Φ = B.S = max

jestliže indukční čáry s plochou rovnoběžné potom α = 90°, cos α = 0 ... Φ = 0 Wb

Magnetický indukční tok

Pro kvantitativní popis elektromagnetické indukce je dobré zavést novou skalární fyzikální veličinu - magnetický indukční tok . Uvažujme

rovinou plochu o obsahu

umístěnou v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci . Je-li plocha kolmá k magnetickým indukčním čarám

(tj. vektor má směr normály

plochy), je magnetický indukční tok určen vztahem ; (

weber

Normála plochy je přímka, která je k ploše kolmá.

V případě, že vektor svírá s normálou plochy úhel , platí .

Pozor! Zde je úhel definován jako úhel mezi normálou plochy a magnetickou indukční čarou, zatímco v případě silového působení

magnetického pole na vodič s proudem byl úhel definován jako úhle mezi vodičem a magnetickou indukční čarou. Proč se pokaždé zavádí úhel

jinak vyplývá z charakteru objektů, které jsou do magnetického pole vloženy: vždy se hledá odchylka magnetické indukční čáry a „přirozeného

směru“ objektu. Vodiči lze připsat směr vodiče (tzv. směrový vektor), zatímco ploše (rovině) vektor normálový (normálu).

Pro děje v nestacionárním magnetickém poli jsou charakteristické změny indukčního toku. Tato změna může být způsobena změnou magnetické

indukce, změnou plochy obsahu

nebo natočením dané plochy vůči magnetickým indukčním čarám. Časovou změnu magnetického indukčního toku

je možné vyjádřit výrazem , kde je změna magnetického indukčního toku za dobu .

Samotný magnetický indukční tok pro nás nemá příliš velký význam - nesmírně podstatná a stěžejní je časová změna magnetického

indukčního toku.

Pro praktické použití (např. jednofázový generátor střídavého proudu) je důležitý případ, kdy je v homogenním magnetickém poli umístěn

rovinný závit, který se otáčí kolem osy ležící v rovině závitu úhlovou rychlostí o velikosti . Pro magnetický indukční tok pak je možné psát

, tj. magnetický indukční tok se mění harmonicky. Díky tomu má i indukované elektromotorické napětí harmonický průběh. Největší

výchylku bychom voltmetrem naměřili v okamžiku, kdy (resp. ), tj. v okamžiku, kdy . Naopak nulová výchylka voltmetru je při

maximálním magnetickém indukčním toku (tj. resp. ). Tento princip se používá i v elektrárnách k výrobě elektrické energie.

Obr. 103

Jediná veličina, která se při rotaci závitu kolem své osy (v nejjednodušším případě) mění, je úhel, který svírá normála plochy s magnetickými

indukčními čarami. Proto je maximum resp. minimum změny magnetického indukčního toku dáno maximem resp. minimem změn funkce .

Z obr. 104 je vidět, že nejvíce se funkce mění v okolí bodů , kde ; naopak nejméně se funkční hodnoty mění v okolí bodů (

Obr. 104

Napětí indukované v jednom závitu je velice malé. Je možné jej ale zvětšit použitím cívky s

závity. Potom magnetický indukční tok je

a indukované napětí se zvětší také

- krát.

Faradayův zákon

Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Znění :

Indukované elektromotorické napětí U

je rovno záporně vzaté časové změně magnetického indukčního toku.

znaménko - Lenzův zákon

Odvození zákona :

- homogenní mag. pole o indukci B

- 2 přímé rovnoběžné nepohyblivé vodiče spojené voltmetrem

- pohybující se vodič MN ve směru v

mezi body MN se indukuje napětí U

(výchylka na voltmetru)

Důvod vzniku indukovaného napětí:

a) Na volné elektrony ve vodiči působí magnetická síla F

= B . Q . v . sin α ( α = 90°, Q = - e )

= B . (-e) . v směr síly určen Flem. pravid. levé ruky

b) Mezi body MN vzniká elektrické pole s intenzitou E

= F / Q = F

/ (-e) = B . v

= U

/ d = U

/ l

= B . v . l (v = ∆s/∆t)

= B . l. ∆s/∆t (∆s . l = ∆S)

= B . ∆S/∆t (∆Φ = B . ∆S)

Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Faradaye inspiroval Oerstedův pokus svědčící o souvislosti elektřiny a magnetismu. Faraday se začal proto zabývat problémem „jak přeměnit

magnetismus v elektřinu“. To se mu podařilo vyřešit až roku 1831 po mnoha pokusech s cívkami. Zjistil, že k indukci elektromotorického napětí

dochází jen při časové změně magnetického indukčního toku. Zobecnění jeho experimentů vyústilo ve Faradayův zákon elektromagnetické

indukce:

ZMĚN Í - LI SE MA GN ET I CKÝ I N DUK ČNÍ TOK VE VOD I ČI ZA DOBU O , VZN IK Á VE VO D I Č I I N D UK OVANÉ

ELEK TROMOTO RIC K É N AP Ě TÍ, JEH O Ž STŘED NÍ H O DNOT A JE .

Na základě zákona elektromagnetické indukce snadno zdůvodníme časový průběh indukovaného napětí v otáčejícím se závitu. Magnetický

indukční tok se mění nejpomaleji, dosahuje-li největších hodnot (viz obr. 105 a komentář k němu), a nejrychleji, je-li nulový. Proto se indukované

napětí mění harmonicky, ale s funkcí sinus: , kde

je okamžitá hodnota indukovaného napětí a největší hodnota (amplituda)

indukovaného napětí. Toto napětí se nazývá střídavé.

Sinusový průběh indukovaného napětí, které vzniká díky kosinovému průběhu změny magnetického indukčního toku, vyplývá z diferenciálního

počtu. Místo vztahu lze totiž přesněji psát . Po dosazení a výpočtu dostáváme:

Odvození Faradayova zákona elektromagnetické indukce

Postup, který se aplikuje při odvozování Faradayova zákona elektromagnetické indukce, se vyskytuje často i při řešení úloh.

Vyjdeme ze situace, kdy se v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci pohybuje kolmo k indukčním čarám vodič délky

(obr.

106). Vodič se při pohybu dotýká dvou rovnoběžných vodičů spojených s citlivým voltmetrem. Při pohybu vodiče působí na elektrony ve vodiči

magnetická síla o velikosti (

je náboj elektronu a N je počet elektronů ve vodiči). Působením této síly se elektrony pohybují směrem

k dolní části vodiče, kde tak vzniká záporný náboj. Horní část vodiče je nabita kladně, takže ve vodiči vzniká elektrické pole o intenzitě .

Směr síly vyplývá z Flemingova pravidla levé ruky.

Indukované elektrické pole způsobí, že mezi konci vodiče (

) je indukované napětí , přičemž platí: , což je možné přepsat ve

tvaru: , kde je dráha, kterou vodič urazí za dobu , a je změna obsahu plochy opsané vodičem za tuto dobu.

Obr. 106

Dále můžeme dále psát . V uvažovaném obvodu plní pohybující se vodič funkci zdroje napětí a voltmetr ukazuje hodnotu

svorkového napětí. Pokud můžeme zanedbat proud procházející voltmetrem, má toto svorkové napětí

stejnou hodnotu jako indukované napětí .

Tak můžeme měřit indukované napětí, které má význam elektromotorického napětí. Obě napětí mají opačnou polaritu, což vyjadřuje znaménko

mínus.

Znaménko mínus ve Faradayově zákonu elektromagnetické indukce lze zdůvodnit i Lenzovým zákonem.

Lenzův zákon

Pokus :

cívka s jádrem, vodivý prstenec

Sepnutí obvodu (zvýšení proudu) - odpuzení hlníkového prstence Rozpojení obvodu (snížení proudu) - přitažení hlníkového prstence

Vysvětlení

při změně proudu v obvodu se v prstenci indukuje proud

prstenec x cívka = vodiče s proudem

vzájemné odpuzování

prstenec x cívka = vodiče s proudem

vzájemné přitahování

v prstenci se indukuje proud opačného směru než prochází cívkou v prstenci se indukuje proud stejného směru jako v cívce

snaha zeslabit proud v obvodu snaha zesílit (udržet) proud v obvodu

Indukovaný proud působí svými účinky proti změně, která ho vyvolala.

Lenzův zákon

Indukovaný proud

Příčinou vzniku indukovaného napětí je změna magnetického indukčního toku. Uděláme-li nyní pokus, kdy do lehkého hliníkového prstence

zavěšeného na stojanu vsuneme prudce magnet, zjistíme, že se kroužek vychýlí ve směru pohybu magnetu. Při prudkém vytažení magnetu se

vychýlí na opačnou stranu - tedy opět ve směru pohybu magnetu.

Příčinou tohoto děje je indukovaný elektrický proud , který při elektromagnetické indukci vzniká v každém uzavřeném vodiči (resp.

obvodu). Platí: , kde

je odpor vodiče. Vzhledem k malému odporu hliníkového prstence, je i při malém indukovaném napětí indukovaný

proud natolik velký, že se výrazně projeví jeho magnetické pole. Směr tohoto proudu je takový, že jeho magnetické pole odpuzuje magnet, tzn.

působí proti změně, která tento proud (a jím vytvořené magnetické pole) vyvolala.

Při vysunutí magnetu vzniká proud opačného směru a jeho magnetické pole působí proti vysunutí magnetu. Indukční čáry magnetického pole

kroužku jsou orientovány souhlasně s indukčními čárami magnetu a kroužek je magnetem přitahován.

Pro ujasnění situace je vhodné vzpomenout si, jak se chovají dva magnety umístěné souhlasnými resp. nesouhlasnými póly k sobě (viz obr.

107 resp. obr. 108). Důležité pro pochopení Lenzova zákona je sledovat, jak souvisí vzájemné směry magnetických indukčních čar (resp.

magnetických indukcí a ) s odpuzováním resp. přitahováním magnetů.

Obr. 107

Obr. 108

Při zasunutí magnetu se zvětšuje magnetický indukční tok procházející kroužkem, ale zvětšení toku brání magnetický indukční tok pole

vytvořeného indukovaným proudem. Při vysunutí magnetu se magnetický indukční tok snižuje, ale indukovaný proud vytváří magnetické pole, které

opět působí proti změně magnetického indukčního toku.

Obdobným problémem se zabýval ruský fyzik a geofyzik Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804 - 1865) a v roce 1834 formuloval Lenzův zákon:

IND UK O VA NÝ ELEK TRICK Ý PRO UD V UZAVŘ ENÉ M OBVO D U MÁ TAK O VÝ SMĚ R, ŽE SVÝ M MAGNETICKÝM P O LEM PŮSO BÍ PRO TI

ZMĚ NĚ MAGNET I CKÉH O IND UKČNÍ H O TOKU, K TER Á J E JEH O PŘÍ ČINOU (RESP . K T ERÁ TENTO PROUD VYVO LALA).

Ve formulaci Faradayova zákona elektromagnetické indukce je Lenzův zákon zahrnut v podobě znaménka mínus.

1. - indukované napětí má takovou polaritu, že indukovaný proud vytváří magnetické pole s opačným směrem indukčních čar (viz obr.

109a)

2. - směr indukčních čar indukovaného magnetického pole je souhlasný se směrem magnetického pole, které elektromagnetickou

indukci vyvolalo (viz obr. 109b)

Obr. 109

Jakousi obdobu Lenzova zákona známe z běžného života: v krajině, do níž byl proveden zásah (např. povrchová těžba, skládka, …) dochází

výrazně rychleji k regeneraci porostu; čím častěji se mladý muž holí, tím rychleji mu rostou vousy; … Zkrátka následek (růst porostu, růst vousů,

…) působí vždy proti příčině (zničení porostu, oholení tváře, …).

Vířivé proudy

Indukované proudy vznikají nejen v cívkách, ale i v masivních vodičích (plechy, desky, hranoly, …), které jsou v proměnném magnetickém poli.

Proudy indukované v plošných vodičích, které si můžeme představit jako miniaturní víry, se nazývají vířivé (Foucaltovy) proudy. Jejich

objevitelem je francouzský fyzik Jean Bernard Leon Foucault (1819 - 1868). Jejich účinku se využívá k tlumení pohybu - např. brzdění hliníkového

kotoučku v elektroměru: kotouček zasahuje do úzké mezery permanentního magnetu a při přerušení odběru proudu se prakticky ihned zastaví.

Energie pohybujícího se kotoučku se přemění na energii indukovaných proudů.

Poznámka :

Tyto indukované proudy vznikají i v masívních vodičích (plechy, desky, hranoly), které se pohybují v magnetickém poli, nebo jsou umístěny v časově proměnném

magnetickém poli. Potom tyto proudy nazýváme

FOUCAULTOVY VÍŘIVÉ PROUDY (fukótovy),

které také působí proti změně, která je vyvolala.

například :

Waltenhofenovo kyvadlo

Indukční brzda

Vlastní indukce

Pokus :

Sepnutí obvodu - žárovka č.2 se rozsvítí později

Vysvětlení

Po sepnutí obvodu vzniká v cívce nestacionární magnetické pole, které je příčinou vzniku indukovaného proudu v cívce, který působí proti změně,

která ho vyvolala.

Indukované elektrické pole vzniká ve vodiči i při změnách magnetického pole, které vytváří proud procházející

vlastním vodičem.

Tento jev se nazývá VLASTNÍ INDUKCE.

vlastní magnetické pole cívky vytváří v cívce magnetický indukční tok Φ,

který je přímo úměrný proudu v cívce

Φ ~ I

Φ = k . I k = L

Φ = L . I

L ... Indukčnost cívky

fyzikální veličina charakterizující cívku (obdobně jako kapacita kondenzátor nebo elektrický odpor rezistor)

pro danou cívku v daném prostředí je konstantní, závisí na konstrukci cívky a na µ

jednotka : H (Henry)

Vodič má indukčnost 1 H, jestliže se v něm při změně proudu o 1 A za 1 s induk. napětí 1 V.

tlumivka = cívka s uzavřeným feromagnetickým jádrem s velkou indukčností, která má velké uplatnění v elektrotechnice (např. startér u

zářivek)

Indukčnost

Indukované elektrické pole vzniká ve vodiči i při změnách magnetického pole, které vytváří proud procházející vlastním vodičem. Tento jev

nazýváme vlastní indukce. Vlastní magnetické pole vytváří v cívce magnetický indukční tok , který prochází plochou závitů cívky a který je přímo

úměrný proudu (v prostředí s konstantní permeabilitou): . Veličina

se nazývá indukčnost cívky a jedná se o parametr cívky.

Tak jako rezistor je charakterizován svým odporem

, je cívka charakterizována svojí indukčností

Změní-li se za dobu proud o , změní se magnetický indukční tok cívkou o a v cívce se indukuje napětí: . Odtud

dostáváme (

henry

; pojmenovaná po americkém fyzikovi J. H. Henrym (1797 - 1878)).

Indukčnost je vlastnost celého elektrického obvodu - všech prvků, které jsou v něm zapojeny. Projevuje se ale nejvíce u cívek a především

u těch, které mají uzavřené feromagnetické jádro. Ty mají široké uplatnění v praxi a nazývají se tlumivky. Indukčnost cívek bez jádra je řádově

, tlumivky s jádrem mají indukčnost .

Pro indukčnost dlouhé válcové cívky o délce

, s obsahem plochy jednoho závitu

a s počtem závitů

platí: , kde je

objem jádra cívky.

Odvození tohoto vztahu vyplývá z definičního vztahu magnetického indukčního toku, který je možné rozepsat takto: .

Vzhledem k tomu, že pro cívku je (normála plochy závitu je rovnoběžná se směrem magnetických indukčních čar homogenního

magnetického pole cívky), je . Pro velikost magnetické indukce homogenního magnetického pole cívky platí vztah . Nyní můžeme

již psát: . Odtud , a tedy .

Pro cívku s feromagnetickým jádrem uvedený vztah neplatí přesně, protože její indukčnost je ovlivněna i magnetizací jádra, a proto závisí i na

proudu, který cívkou prochází.

Přechodný děj v obvodu s indukčností

Přechodný děj = děj, ke kterému dochází při spojení nebo rozpojení elektrického obvodu, pokud se v obvodu nachází cívka s velkou

indukčností L

Průběh samotného děje:

Děje při sepnutí obvodu

∆I > 0 potom U

= - U

(Lenzův zákon)

vzniká indukované napětí opačné polarity než je napětí zdroje

Děje při rozpojení obvodu

∆I < 0 potom se indukuje napětí stejné polarity (Lenzův zákon), proud klesá díky indukovanému napětí pomaleji, odpor obvodu rychle stoupne

(proudu v obvodu rychle klesne) a protoU

>> U

vzniká indukované napětí stejné polarity, jako má zdroj, ale značně větší velikosti

Poznámka :

Existence přechodného děje vyplývá z platnosti zákona zachování energie (přeměny elektrické energie v magnetickou či naopak neprobíhají

okamžitě, ale trvají určitou dobu - čím indukčnost bude větší, tím bude doba přeměny energie delší a narůstání proudu pomalejší)

Přechodný děj v praxi :

Vznik jiskrového výboje v místě přerušení mezi kontakty vypínače (odstranění pomocí kondenzátoru)

Energie magnetického pole cívky

Víme :

magnetický indukční tok Φ, vznikající v cívce, je přímo úměrný proudu v cívce (Φ ~ I)

∆E

= W

z obrázku plyne : W = 0,5 . Φ . I

také platí : Φ = L . I

potom

Energie magnetického pole cívky

Stejně tak jako i jiná silová pole, má i magnetické pole energii. Po zapnutí zdroje napětí v obvodu s cívkou se zvětšuje proud v cívce z nulové

hodnoty a po určité době dosáhne hodnoty odpovídající ustálenému stavu. Současně se vytváří magnetické pole cívky. Magnetický indukční tok roste

s proudem lineárně a na cívce se indukuje elektromotorické napětí . Aby tedy vznikl v cívce proud je nutno vykonat práci na

překonání indukovaného elektromotorického napětí.

Za velmi krátkou dobu se proud v cívce zvětší o a energie magnetického pole cívky se zvětší o . Tuto energii získalo magnetické pole

cívky přeměnou stejně velké části elektrické energie zdroje. Elektrostatické síly působící na volné elektrony ve vodiči cívky vykonaly při této změně

práci, která je rovna : .

Obr. 113

Pro získání celkové energie magnetického pole cívky, kterou prochází ustálený proud , vyjdeme z grafu funkce (viz obr. 113).

Energii magnetického pole cívky s proudem odpovídá obsah trojúhelníku ležící pod grafem funkce .

Ze vztahu pro totiž vyplývá, že součin magnetického indukčního toku a proudu má jednotku joule.

Obsah uvažovaného trojúhelníka je . Tedy pro energii vytvořeného magnetického pole cívky dostáváme vztah: .

V analogii s mechanikou je možné energii magnetického pole považovat za analogii kinetické energie mechanického pohybu.

Uvedený vztah platí pro cívku bez jádra (resp. pro cívku s otevřeným jádrem). U cívek s uzavřeným jádrem není závislost lineární

a pro výpočet je nutné použít vyšší matematiku.