26) Základní principy speciální teorie relativity

Z čeho STR vychází

Prostor a čas v klasické mechanice

Klasická mechanika - vznik v 17. století (Newton, Galileo)

shrnutí veškerých poznatků o pohybu těles do tří Newtonových pohybových zákonů

zákon setrvačnosti

zákon síly

zákon akce a reakce

obecně známé poznatky v klasické mechanice o prostoru a času:

polohu tělesa v prostoru určujeme vždy vzhledem k okolním tělesům (vztažné soustavě)

pomocí souřadnic (x,y, z v prostoru; x,y v rovině)

událost je děj, který nastane v určitém místě prostoru a v určitém čase

popisujeme jí 4 souřadnicemi (x, y, z - místo; t - čas konání)

v klasické mechanice o prostoru a čase platí: (pro v << c)

ČAS JE ABSOLUTNÍ - plyne stejně rychle ve všech vztažných soustavách1.

SOUČASNOST JE ABSOLUTNÍ - 2 události v různých místech současné v jedné soustavě, potom musí být současné ve všech soustavách (plyne z předchozího

tvrzení)

VZDÁLENOST JE ABSOLUTNÍ - v jedné soustavě je vzdálenost dvou míst 50 km, v ostatních soustavách vzdálenost stejných míst je také 50 km3.

HMOTNOST TĚLESA JE STÁLÁ a nezávislá na velikosti rychlosti, kterou se pohybuje4.

PLATÍ KLASICKÝ PRINCIP SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ5.

obrázky pro klasické skládání rychlostí nakreslit na tabuli

Příklad:

IVS - S (x, y, z, t) IVS - S' (x', y', z', t')

pohybují se navzájem rovnoměrně přímočaře rychlostí v

na počátku pohybu (v čase t = t' = 0 s) platí S = S'

v S' se stane událost v místě A(x,y,z)

GALILEIHO TRANSFORMACE

udává přechod od souřadnic v jedné IVS k souřadnicím v jiné IVS

platí pouze v klasické mechanice

x = x' + v.t

y = y'

z = z'

t = t'

Vznik STR

2. pol. 19. stol. - J. C. Maxwell (Angličan)

vypracována teorie elektromagnetického pole (Maxwellovy rovnice)

důsledek: světlo je elektromagnetické vlnění

pozor ale:

v té době byly veškeré vlnové děje spojovány s vlněním určitého prostředí

vlny na vodě - vlnění vodní hladiny

zvukové vlny - vlnění vzduchu

úsudek: světlo musí být také vlnění určitého prostředí, toto vlnění bylo nazváno ÉTER

zvláštní vlastnosti ÉTERU:

výskyt v celém vesmíru (světlo i z dalekých hvězd)

lehce prostupný (nebrzdí pohyb Země kolem Slunce)

světlo se v něm šíří rychlostí c (elmag vlnění)

IS spojená s éterem by se lišila od ostatních IS (byla by v klidu vůči ostatním IS)

neplatil by Galileův princip relativity

snaha o DŮKAZ ÉTERU:

změření změny rychlosti světla vzhledem k Zemi (MICHELSONŮV POKUS)

předpokládaný výsledek:

jestliže Země kolem Slunce v = 30 km/s potom Země vůči éteru (světlu) také v = 30 km/s

princip měření:

v ... rychlost Země vůči éteru (Slunci)

c ... rychlost světelného signálu

teoretický předpoklad

u = c - v

u ... rychlost světla vůči Zemi

v ... rychlost Země vůči éteru (Slunci)

c ... rychlost světelného signálu

teoretický předpoklad

u = c + v

u ... rychlost světla vůči Zemi

jiné znázornění experimentu

VÝSLEDEK EXPERIMENTU

!!!!! u = c !!!!!

ZÁVĚR:

Světlo se šíří ve všech směrech vzhledem k Zemi stejnou rychlostí c.

DŮSLEDKY PŘEKVAPIVÉHO ZÁVĚRU:

Nelze pomocí jakýchkoliv experimentů odlišit jednu IS od druhé.1.

Důkaz neexistence éteru. (IS odlišující se od ostatních neexistuje.)2.

Na závěru experimentu a prvním důsledku je založena SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY

(speciální proto, že platí pouze v IVS)

SHRNUTÍ:

SPECIÁLNÍ TEORIE RELATIVITY je založena na těchto dvou principech:

1) PRINCIP RELATIVITY

Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony.

(Všechny IVS jsou si navzájem rovnocenné.)

2) PRINCIP KONSTANTNÍ RYCHLOSTI SVĚTLA

Ve všech IS má rychlost světla ve vakuu stejnou velikost.

(c = 300 000 km/s)

Relativita současnosti

Relativnost současnosti

Podívejme se na následující příklad:

mějme vagón jedoucí stálou rychlostí v rovnoměrně přímočaře

uprostřed vagónu u stropu se nachází světlo (lustr)

pozorovatel ve vagónu (soustava S´) a pozorovatel na nástupišti (soustava S)

Co budou pozorovat jednotliví cestující při rozsvícení světla ve vagónu?

CESTUJÍCÍ (POZOROVATEL)

VE VAGÓNU

(v soustavě S)

světelný paprsek dopadne na obě dvě stěny vagónu současně

(světlo urazilo stejnou vzdálenost d rychlostí c)

CESTUJÍCÍ (POZOROVATEL)

NA NÁSTUPIŠTI

(v soustavě S´)

dráha světelného paprsku k přední stěně:

s = d + v.t

(z obr.)

s = c.t

(z def. rychl.)

potom

c.t

= d + v.t

čas, za který světelný paprsek dopadne na přední stěnu

dráhu světelného paprsku k zadní stěně:

s = d - v.t

(z obr.)

s = c.t

(z def. rychl.)

potom

c.t

= d - v.t

čas, za který světelný paprsek dopadne na zadní stěnu

porovnání obou časů:

< t

≠ t

)

pro pozorovatele v soustavě S (na nástupišti) nedopadne světelný paprsek na

obě dvě stěny vagónu současně

Závěr a shrnutí

Pro pozorovatele v soustavě S´spojené s vagónem světelný paprsek dopadne na obě dvě stěny vagónu současně, pro pozorovatele v soustavě S spojené s nástupištěm

nikoliv.

UDÁLOSTI, KTERÉ JSOU SOUČASNÉ VZHLEDEM K JEDNÉ INERCIÁLNÍ SOUSTAVĚ, NEMUSÍ BÝT SOUČASNÉ VZHLEDEM K JINÉ INERCIÁLNÍ SOUSTAVĚ.

SOUČASNOST DVOU UDÁLOSTÍ JE VE SPECIÁLNÍ TEORII RELATIVITY RELATIVNÍ POJEM.

Dilatace času

DILATACE ČASU = zpomalení chodu hodin

Trvání určitého děje závisí na vztažné soustavě, ve které tento děj pozorujeme. Toto trvání bude tím větší, čím větší rychlostí vzhledem k pozorovateli se

pohybuje vztažná soustava, v níž se daný děj odehrává na jednom místě.

Pro relativistický čas platí:

c ... rychlost světla

∆t ... časový interval v klidové soustavě S

ze vztahu plyne

∆t > ∆t´

∆t´ ... časový interval v pohybující se soustavě S´ rovnoměrně přímočaře rychlostí v

vzhledem k soustavě S

Světelné hodiny a odvození vztahu pro dilataci času

Dilatace času je jev, který se projevuje tím, že hodiny, které se pohybují vzhledem k určité vztažné soustavě

, jdou pomaleji než hodiny, které

jsou v soustavě

v klidu.

Pro další úvahy je nutno zvolit „rozumný“ způsob měření času. Čas lze měřit libovolným periodickým dějem, který vhodným způsobem

okalibrujeme. Jeden ze způsobů je použít tzv. světelné hodiny, s nimiž prováděl své myšlenkové experimenty sám Einstein. Světelné hodiny ve

skutečnosti neexistují, jedná se pouze o myšlenkový experiment, který je jednoduchý, ale pro pochopení základních úvah o měření času postačující.

Důležitý je pouze fakt, že světelné hodiny teoreticky měří čas. O jejich konstrukci, použitý materiál, … se zajímat nebudeme.

Světelné hodiny se skládají ze dvou vzájemně rovnoběžných rovinných zrcadel a ve vzájemné vzdálenosti

. Od těchto zrcadel necháme

periodicky odrážet světelný paprsek (viz obr. 13). Máme tedy definované hodiny a jeden jejich „tik“ bude čas, který paprsek potřebuje k překonání

vzdálenosti . Tyto hodiny umístíme do soustavy a pro čas jednoho tiku, který budeme měřit v této soustavě, dostaneme: .

Obr. 13

Nyní budeme předpokládat, že se inerciální soustava pohybuje vzhledem k inerciální soustavě

rychlostí , přičemž platí . V soustavě

jsou umístěny světelné hodiny

tak, že jejich osa je kolmá k vektoru rychlosti . V obou soustavách jsou pozorovatelé a

, kteří měří čas na

hodinách.

Měření času spočívá v odečítání vzdálenosti od spodního zrcátka .

Pozorovatel v soustavě bude měřit „svůj“ čas pomocí jednoho tiku - časového intervalu . Pozorovatel v soustavě

bude měřit čas pomocí

„svého“ tiku . Vzhledem k pozorovateli v soustavě

se ale za tuto dobu hodiny posunou o vzdálenost . Světelný paprsek se v hodinách

vzhledem k pozorovateli (tj. vzhledem k soustavě ) pohybuje ve směru osy světelných hodin (tj. kolmo na obě zrcátka) rychlostí o velikosti

Vzhledem k soustavě

se světelný signál pohybuje po lomené čáře

ABC

(viz obr. 14) také rychlostí o velikosti

. Velikost této rychlosti vyplývá

z principu konstantní rychlosti světla. Čas, který světlo potřebuje na uražení dráhy

ABC

, je jeden tik pozorovatele

Obr. 14 Obr. 15

Vzhledem k tomu, že světelný paprsek má vzhledem k soustavě

urazit větší dráhu než vzhledem k soustavě , musí být .

Kvantitativní vztahy mezi oběma intervaly odvodíme nyní.

Z hlediska soustavy se dostane světelný paprsek za dobu na horní zrcátko . Z hlediska soustavy

se světelný paprsek dostane za

čas také na zrcátko , ale světlo při tom urazí jinou (delší) dráhu. Vzhledem k soustavě

se totiž zatím hodiny posunuly o dráhu . Vztah

mezi časovým intervalem a získáme na základě Pythagorovy věty v pravoúhlém trojúhelníku

ABD

na obr. 15. Platí: , což po

dosazení je . Odtud již snadno vyjádříme čas : . Víme ale, že pro 1 tik měřený v soustavě platí .

Můžeme tedy dosadit a dostáváme . Vzhledem k tmou, že , je i a proto . Odtud již plyne, že . Jeden

tik hodin v soustavě, vůči níž jsou hodiny v klidu (soustava ) trvá tedy kratší dobu než jeden tik hodin v soustavě, vůči níž se hodiny pohybují

(soustava

). Tj. z hlediska soustavy

se pohybující hodiny zpožďují (jeden tik trvá totiž delší dobu).

Analogický vztah platí i pro časy

a : .

Čas , který na svých hodinách měří pozorovatel, jenž je vůči hodinám v klidu, se nazývá vlastní čas. V literatuře bývá někdy značen .

V některé literatuře se používá označení ; tento koeficient se nazývá Lorentzův koeficient. Důvod zavedení tohoto označení

spočívá ve zjednodušení zápisu většiny vztahů používaných ve speciální teorii relativity resp. vztahů, které z této teorie vyplývají. S využitím tohoto

označení bude mít pak vztah pro dilataci času tvar: .

Grafické znázornění poměru na velikosti rychlosti, kterou se hodiny vůči pozorovateli v klidu pohybují (resp. na poměru ), je zobrazen na

obr. 16.

Pro malé velikosti rychlosti (tj. zhruba pro ) nebude příliš velký rozdíl mezi časem, který měří pozorovatel, vůči němuž se hodiny

pohybují, a vlastním časem. S rostoucí velikostí rychlostí se ale rozdíl mezi těmito časy začíná výrazně zvyšovat. Pro velikosti rychlostí blízké velikosti

rychlosti světla ve vakuu roste čas měřený pozorovatelem, vůči němuž se hodiny pohybují, velmi prudce.

Obr. 16

Naprosto stejný závěr bychom dostali, kdybychom místo jedněch hodin vzali hodiny dvoje: hodiny

umístili do soustavy

a hodiny do

soustavy , přičemž soustava by se vzhledem k soustavě

pohybovala rychlostí .

Je možné tedy vyslovit závěr:

HO D IN Y, KT ERÉ SE VZH LE D EM K PO ZORO VATELI PO HY BUJÍ, JD OU PO MALEJ I NEŽ HOD INY , K TE RÉ JSOU VZH LE D EM

K P O ZORO VATELI V KLI D U.

Vztah pro dilataci času byl odvozen pro jeden výjimečně jednoduchý typ hodin. Platí ale pro libovolné hodiny jakékoliv jiné konstrukce a také

pro všechny procesy, které jsou závislé na plynutí času (biologické, chemické, …).

Populárně se vztah pro dilataci času někdy formuluje větou: „Pohybující hodiny jdou pomaleji než hodiny v klidu.“ Takto vyslovený závěr

dilatace čase ale nemá smysl, neboť není udána soustava, vůči níž čas měříme.

K dilataci času dochází při každém pohybu libovolných dvou soustav vůči sobě. Tedy i v případě běžných pohybů, s nimiž se setkáváme (cesta

autem na chalupu, cesta autobusem do školy, …). V těchto případech je ale efekt způsobený dilatací času velmi malý. Běžné rychlosti, kterých

jsme schopni dosáhnout, se pohybují v řádech jednotek až stovek metrů za sekundu ( - rychlost moderních vlaků, …),

v letadlech pak s rychlostmi tisíce metrů za sekundu. Maximálně tedy velikost rychlosti v řádu . Velikost rychlosti světla ve vakuu je

, tedy podíl vystupující ve většině vztahů v teorii relativity je řádu . Tato hodnota je velmi

malá a vzhledem k číslu 1 ve výrazu zcela zanedbatelná. Proto v běžném životě efekty teorie relativity nevnímáme.

Při vyšších rychlostech (řádově desítky procent rychlosti světla ve vakuu) efekty teorie relativity zanedbatelné nejsou - podíl se bude

více blížit jedné a nebude proto vzhledem k číslu 1 zanedbatelný. Tyto efekty se musí brát v úvahu např. při stavbě urychlovačů částic, při

používání systému GPS, …

Paradox dvojčat

Pro správné pochopení dilatace času je možné uvést příklad - tzv. „paradox“ dvojčat, který ve skutečnosti žádným paradoxem není. Název

„paradox“ pochází z doby, kdy vysvětlení tohoto problému nebylo známo.

Uvažujme dva chlapce Petra a Pavla. Chlapci jsou jednovaječná dvojčata a celý život vyrůstali spolu. Rozloučili se teprve v dospělosti, kdy jeden

z nich (např. Pavel) vyrazil na průzkum vesmíru v kosmické lodi a druhý zůstal na Zemi. Vůči Petrovi, který zůstal na Zemi, se Pavel pohybuje

rychlostí srovnatelnou s rychlostí světla, tudíž je třeba vzít do úvahy relativistické jevy. Vůči Petrovi (soustava spojená se Zemí) se tedy Pavlovi

opožďují hodinky. A nejen to. Opožďují se veškeré děje, které probíhají na kosmické lodi - tlukot Pavlova srdce, odumírání tkání, … - Pavel tedy

stárne pomaleji než Petr. Pavel samozřejmě žádné změny na sobě nepozoruje. Po návratu Pavla na Zem se ale Petrovy závěry potvrdí. Pavel je

skutečně vůči Petrovi mladší.

Uvedený příklad je „paradoxem“ z následujícího důvodu. Víme, že pohyb je relativní, tudíž lze na celou situaci nahlížet tak, že se bude

pohybovat Petr na Zemi velkou rychlostí vůči Pavlovi v kosmické lodi. Pak bude logicky stárnout pomaleji Petr. V důsledku symetrie obou použitých

soustav by byli při opětovném setkání oba sourozenci stejně staří. Ale při opětovném setkání dvojčat se ukáže, že mladší je ten, který cestoval

v kosmické lodi, tj. Pavel.

Problém je v tom, že vztah pro dilataci času, který se zde uplatňuje při vysvětlování stárnutí Petra a Pavla, byl odvozen pro vzájemný pohyb

dvou inerciálních soustav. Pavlova soustava spojená s kosmickou lodí, ale není inerciální. Aby se totiž mohli opět oba sourozenci setkat, musí

kosmická loď s Pavlem zastavit, otočit se a zase se rozjet směrem zpět nebo provést celý manévr pouze obrátkou. Ať už je postup při návratu

jakýkoliv, nejedná se v žádném případě o inerciální systém - kosmická loď (a celé její osazenstvo) musí projít fází zrychleného pohybu. Proto je

správný závěr, že mladší bude ten z chlapců, který „pocítil zrychlení při svém pohybu“, tj. Pavel. Petr žádné zrychlení necítil, jeho systém je tedy

možné považovat za inerciální.

Ačkoliv Petr zůstal na Zemi, která se pohybuje se zrychlením (rotace kolem vlastní osy, oběh kolem Slunce, …), lze Zem s velkou přesností

považovat za inerciální soustavu.

Kontrakce délky

KONTRAKCE DÉLKY = zkrácení délky

Vzdálenost dvou bodů (např. délka tyče) závisí na vztažné soustavě, v níž tuto vzdálenost měříme.

Čím rychleji se tyč pohybuje vzhledem k určité vztažné soustavě, tím naměříme menší délku tyče v této soustavě než v soustavě, vzhledem k níž je tyč v

klidu.

Pro relativistickou délku platí:

ze vztahu plyne

l < l´

c ... rychlost světla ve vakuu

l ... délka v klidové soustavě S

l´ ... délka v pohybující se soustavě S´ vůči S pohybem rovnoměrným přímočarým

rychlostí v

POZOR Ke zkrácení tělesa dochází pouze ve směru pohybu. POZOR

Odvození vztahu pro kontrakci délek

K odvození vztahu mezi délkou předmětu v klidové soustavě a délkou předmětu

v libovolné jiné soustavě

, vůči níž se soustava

pohybuje rychlostí , lze využít následující myšlenkový pokus. Předpokládejme, že z levého konce tyče (bod ) vyšleme ve směru jejího pohybu

světelný signál. Světlo se po odrazu od zrcátka

(umístěného na druhém konci tyče) vrátí zpět do bodu . Čas, za který světlo urazí dráhu ,

je závislý na volbě vztažné soustavy, z níž budeme světelný signál sledovat.

V soustavě , v níž je pozorovatel vzhledem k tyči v klidu, naměříme čas (viz obr. 18).

V soustavě

se světlo šíří od levého konce tyče k zrcátku

po dobu , přičemž urazí dráhu , kde

je délka tyče v soustavě

(viz

obr. 19). Při návratu paprsku k levému konci tyče (bod ) urazí světlo vzhledem k soustavě

dráhu . Čas

, za který světlo urazí dráhu

, je součtem časů a . Tedy .

Obr. 18 Obr. 19

Vyslání paprsku z bodu a jeho opětovný příjem v tomto bodě jsou z hlediska soustavy dvě soumístné události, mezi nimiž uplyne čas .

Z hlediska pozorovatele v soustavě

mezi dvěma popsanými událostmi uplyne čas

. Čas

a jsou svázány vztahem pro dilataci času, který lze

zapsat ve tvaru . Po dosazení vztahu pro dilataci času a vlastního času (čas měřený v soustavě ) do vztahu pro čas

vypočtený

z experimentu dostáváme: . Odtud lze již odvodit vztah pro kontrakci délek ve tvaru .

S využitím Lorentzova koeficientu lze vztah pro kontrakci délek psát ve tvaru: .

Vzhledem k tomu, že , je i . Proto a tedy . Graf závislosti poměru na velikosti rychlosti pohybu tyče (resp. na

poměru ) je zobrazen na obr. 20.

Obr. 20

Pro malé velikosti rychlosti pohybu naměří pozorovatel, který je vzhledem k tyči v klidu, i pozorovatel, který je vzhledem k tyči v pohybu,

stejné délky tyče. S rostoucí velikostí rychlosti pohybu tyče bude měřit pozorovatel, vůči němuž se tyč pohybuje, stále kratší její délku. Pro velikosti

rychlosti blízké velikosti rychlosti světla ve vakuu se jím měřená délka tyče bude blížit nule.

DÉ LK A TY ČE V SO USTAVĚ, V ZHLED E M K NÍŽ SE TYČ POH YBUJE (VE SMĚRU SVÉ D ÉLK Y), JE VŽD Y MENŠÍ N EŽ DÉ LK A TÉ ŽE

TYČE V SOUSTAVĚ, V Z HLE DEM K N ÍŽ J E TYČ V K LI D U (K LI D OVÁ SOU STAVA).

Jestliže do soustavy umístíme tyč kolmo k pohybu této soustavy, pak současný záznam poloh koncových bodů tyče v soustavě je

současný i v soustavě

a proto ke kontrakci délek nedochází.

Stále vyšetřujeme, jak tyč naměříme - nikoliv, jak jí budeme vidět. To jsou dva naprosto rozdílné fyzikální jevy, které je nutné v teorii relativity

striktně odlišovat: měření délek a optický vzhled pohybujících se objektů.

Důvody, proč nevnímáme kontrakci délek v praxi při běžných pohybech (cesta autobusem, jízda automobilem, …), jsou stejné jako ty, proč

nevnímáme při těchto pohybech dilataci času.

Relativistické skládání rychlostí

Lorentzova transformace

Známe:

Galileiho transformaci (transformace vyjadřující převodní vztahy mezi dvěma IVS v klasické fyzice)

je založena na dvou předpokladech:

na absolutnosti času (t = t´)

na absolutnosti délek (l = lˇ)

Při rychlostech srovnatelných s rychlostí světla tyto dva předpoklady ale neplatí, proto musíme Galileiho transformaci nahradit obecnějšími transformačním

rovnicemi, tzv. LORENTZOVOU TRANSFORMACÍ

ODVOZENÍ JEDNOTLIVÝCH VZTAHŮ LORENTZOVY TRANSFORMACE

Lorentzův vztah pro transformaci souřadnice x

Mějme dvě IVS (K, K´) z nichž K´ se pohybuje vzhledem ke K rychlostí v

v K´ zvolme bod N´, ve vzdálenosti l´= x´ od počátku 0´

sledujme nyní velikost úsečky 0´N´ vzhledem k nepohybující se soustavě K

při rychlostech v soustavy K´ srovnatelných s rychlostí světla c dochází ve směru

pohybu tyče k její kontrakci (zkrácení) a proto pro její délku l musí platit:

z obrázku plyne

potom

LORENTZŮV VZTAH PRO TRANSFORMACI SOUŘADNICE x

potom Lorentzova transformační rovnice přechází v první rovnici Galileiho transformace

Transformační rovnice pro souřadnice y a z

úsečky MM1 a M1N´ jsou kolmé ke směru pohybu soustavy K´ vzhledem k soustavě K

proto zde ke kontrakci délek nedochází

a pro souřadnice y´a z´musí platit

y´= y

z´= z

LORENTZŮV VZTAH PRO TRANSFORMACI SOUŘADNIC y a z

Lorentzův vztah pro transformaci časové souřadnice události

k odvození využijeme principu konstantní rychlosti světla

předpokládejme, že v čase t = t´= 0 se osy obou soustav kryjí

pozorovatel v soustavě K vyšle světelný signál v kladném směru osy x

na ose x = x´ leží bod M

v soustavě K urazí světlo do bodu M dráhu x = c.t

v soustavě K´urazí světlo dráhu x´ = c.t´

proto můžeme pro souřadnici t´ psát

a tedy

LORENTZŮV VZTAH PRO TRANSFORMACI ČASU

potom Lorentzova transformační rovnice přechází ve čtvrtou rovnici Galileiho transformace

SHRNUTÍ A ZÁVĚR

VÝZNAM LORENTZOVY TRANSFORMACE

Pomocí této transformace můžeme studovat určitý děj z hlediska dvou navzájem se pohybujících inerciálních vztažných soustav a nalézt vztah mezi výsledky

měření v obou soustavách.

Transformační rovnice v tomto tvaru platí samozřejmě pouze za těchto předpokladů:

Osa x inerciální vztažné soustavy K splývá s osou x´ inerciální vztažné soustavy K´

Osy y a z soustavy K jsou rovnoběžné s osami y´a z´ soustavy K´

Při setkání počátků 0 a 0´ obou soustav ukazují hodiny umístěné v těchto počátcích stejný čas t = t´ = 0

Relativistické skládání rovnoběžných rychlostí

ODVOZENÍ VZTAHU

Předpoklady:

mějme IVS K´ pohybující se vzhledem k jiné IVS K rychlostí v, kde v je menší než c

ve směru os x a x´, které spolu splývají se pohybuje částice rovnoměrným přímočarým pohybem v soustavě K´ rychlostí u´ a v soustavě K rychlostí u,

přičemž u a u´ jsou srovnatelné s rychlostí světla

na počátku měření t = t´ = 0

z definice rovnoměrného přímočarého pohybu plyne

pro rychlost částice v pohybující se soustavě K´ pro rychlost částice v klidové soustavě K

potom pro hledanou velikost rychlosti u v soustavě K s využitím Lorentzovy transformace platí:

neboli

VZTAH PRO RELATIVISTICKÉ SKLÁDÁNÍ ROVNOBĚŽNÝCH RYCHLOSTÍ

kde

u je velikost rychlosti tělesa vzhledem k soustavě S

u´ je velikost rychlosti tělesa vzhledem k soustavě S´

v je rychlost soustavy S´ vzhledem k soustavě S

c je rychlost světla ve vakuu

VÝZNAM TOHOTO VZTAHU

Rychlost světla ve vakuu je mezní rychlost, které nemůže žádné hmotné těleso dosáhnout.

(vždy platí u < c)

Relativistická dynamika

Relativistická hmotnost

platí vztah:

... klidová hmotnost tělesa (hmotnost tělesa vzhledem k soustavě, v níž je těleso v klidu)

m ... relativistická hmotnost tělesa (hmotnost tělesa vzhledem k soustavě, v níž se pohybuje rychlostí v)

m > m

Čím je rychlost daného tělesa v dané IVS větší, tím větší hmotnost tělesa v této soustavě naměříme.

Grafické vyjádření:

Zákon zachování relativistické hmotnosti:

Úhrnná relativistická hmotnost izolované soustavy těles zůstává při všech dějích probíhajících v této soustavě konstantní.

(celková relativistická hmotnost částic před srážkou je rovna celkové relativistické hmotnosti částic po srážce)

Odvození vztahu pro relativistickou hmotnost

Podle zákonů klasické fyziky se částice, na niž působí konstantní síla, pohybuje pohybem rovnoměrně zrychleným. Z rovnice v = at pak plyne, že

rychlost této částice by neustále rostla a za dostatečně dlouhou dobu by překročila rychlost světla ve vakuu c. To však podle speciální teorie

relativity není možné, a proto je nutné klasickou dynamiku, která je dostatečně experimentálně ověřena při rychlostech mnohem menších než

rychlost světla c, nahradit relativistickou dynamikou platící obecně při libovolných rychlostech v.

Podle klasické fyziky je hmotnost m daného tělesa konstantní a nezávislá na jeho rychlosti. Einstein však předpokládal, že hmotnost každého

tělesa se s jeho rostoucí rychlostí zvětšuje. Pro tento jev odvodil pomocí jednoduchého myšlenkového pokusu také kvantitativní vztah.

Uvažoval při tom nepružnou srážku dvou stejných koulí (tzn. že v klidové vztažné soustavě mají stejný objem i hmotnost) a předpokládal, že

hmotnost každého tělesa závisí na jeho rychlosti vzhledem ke zvolené inerciální vztažné soustavě a že v libovolné vztažné soustavě platí zákon

zachování hmotnosti a hybnosti. Předpokládejme, že koule A se vzhledem k vztažné soustavě K pohybuje rychlostí v a narazí na kouli B, která je

vzhledem k soustavě K v klidu (obr a). Hmotnost koule A označíme m

a hmotnost koule B, která je v klidu, označíme m

. V důsledku nepružné

srážky vznikne výsledné těleso C, které se pohybuje vzhledem k soustvě K rychlostí w (obr b). Hmotnost tohoto tělesa označíme M

. Podle zákona

zachování hybnosti se hybnost soustavy před srážkou bude rovnat hybnosti soustavy po srážce. Platí proto vztah m

v = M

w. Zákon zachování

hmotnosti lze při tomto ději vyjádřit ve tvaru m

+ m

= M

Uvažujeme-li tutéž situaci z hlediska vztažné soustavy K ´, která se pohybuje vzhledem k soustavě K v kladném směru osy x rychlostí v, tj.

rychlostí pohybu koule A vzhledem k soustavě K, dochází k obdobnému jevu, jako v předchozím případě. Koule A je v soustavě K ´ v klidu a koule

B se pohybuje rychlostí -v. Tato situace je symetrická s předešlou, a proto se výsledené těleso C bude vzhledem k soustavě K ´ pohybovat

rychlostí -w.

K nalezení vztahu mezi rychlostmi v a w využijeme pro výsledné těleso C relativistický vztah pro skládání rychlostí

kde u´ je velikost rychlosti výsledného tělesa C vzhledem k soustavě K ´, u je velikost rychlosti téhož tělesa vzhledem k soustavě K a v velikost

rychlosti soustavy K ´ vzhledem k soustavě K. V našem případě však položíme u´ = -w a u = w. Relativistický vztah pro skládání rychlostí tak

přejde na tvar

Při použití výše uvedených vztahů pro zachování hybnosti a hmotnosti dostáváme

v = (m

+ m

a po vyjádření velikosti rychlosti w, ji dosadíme do upravené rovnice pro skládání rychlostí

Tím dostáváme

a odtud potom několika úpravami dospějeme již k hledané závislosti hmotnosti m

na rychlosti v

- v

) = m

nebo stručněji , kde veličinu m

nazýváme relativistická hmotnost tělesa nebo částice .

Je-li těleso vzhledem k vztažné soustavě v klidu, pak z uvedeného vztahu dostáváme m = m

. Relativistickou hmotnost tělesa m

proto nazýváme

klidová hmotnost tělesa. Tato je pro dané těleso stejná ve všech vztažných soustavách, a proto říkáme že je to invariantní veličina. Ze vztahu

je také zřejmé, že s rostoucí rychlostí tělesa se jeho relativistická hmotnost také zvětšuje, přičemž při rychlostech blížících se rychlosti světla roste

jeho relativistická hmotnost nade všechny meze. Tím můžeme také vysvětit, proč žádná částice s nenulovou klidovou hmotností nemůže

dosáhnout rychlosti světla.

Z výše uvedeného vztahu dále také plyne, že relativistická hmotnost tělesa či částice je relativní veličina závislá na uvažované vztažné soustavě.

Relativistická hmotnost tedy není "mírou množství látky obsažené v tělese", jako setrvačná hmotnost v klasické fyzice, ale jde o dynamickou

veličinu.

Pro relativistickou hmotnost samozřejmě také platí zákon zachování hmotnosti, který říká, že celková relativistická hmotnost izolované

soustavy těles zůstává při všech dějích probíhajících v této soustavě konstantní.

Uvedený zákon i předchozí vztah byly mnohokrát potvrzeny v urychlovačích částic při pokusech s jejich srážkami.

Relativistická hybnost

Víme:

v klasické mechanice:

ve Speciální teorii relativity: (m

= m)

platí:

ZÁKON ZACHOVÁNÍ RELATIVISTICKÉ HYBNOSTI

(Byl ověřen na experimentech se srážkami elementárních částic, které se pohybují rychlostmi srovnatelnými s rychlostí světla)

Souvislost hmotnosti a energie

Platí obecně známý vztah:

EINSTEINŮV VZTAH MEZI HMOTNOSTÍ A ENERGIÍ

Přesnější zápis:

při každé změně energie soustavy se mění také její hmotnost

Po dosazení za relativistickou hmotnost:

Výsledný vztah mezi energií a hmotností:

platí: ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE

Celková energie izolované soustavy zůstává při všech dějích probíhajících uvnitř soustavy konstantní.

Vztah mezi energií a hmotností

Podle klasické dynamiky není mezi energií tělesa E a jeho setrvačnou hmotností m

žádný obecně platný vztah. Z rozboru konkrétních příkladů

však vyplývá, že v relativistické dynamice souvisí změna energie tělesa se změnou jeho hmotnosti. Uvedeme-li např. těleso o klidové hmotnosti

z klidu do pohybu o rychlosti v, zvětší se jeho kinetická energie. Protože je hmotnost závislá na rychlosti, zvětší se současně i hmotnost tělesa

o Dm = m - m

Vztah mezi přírustkem energie tělesa DE a přírustkem jeho hmotnosti odvodíme alespoň pro zvláštní případ, kdy rychlost v, které těleso dosáhne,

je mnohem menší než c. Pak můžeme přírustek kinetické energie tělesa určit z klasického vztahu

Přírustek hmotnosti tělesa lze pro malé hodnoty poměru vyjádřit pomocí přibližného vzorce

ve tvaru

Mezi přírustkem kinetické energie tělesa DE

a přírustkem jeho hmotnosti Dm platí tedy při rychlostech vztah

Uvedený vztah mezi změnou energie tělesa a změnou jeho hmotnosti jsme odvodili jen pro změnu kinetické energie při malých rychlostech oproti

c. Einstein však obecněji předpokládal, že při každé změně celkové energie soustavy se změní také její hmotnost. Přitom platí vztah DE = Dmc

kde DE je změna celkové energie soustavy, Dm změna její hmotnosti a c je rychlost světla ve vakuu. Tento vztah platí nezávisle na tom, jakým

způsobem se mění energie tělesa. Ze vztahu dále vyplývá, že energii žádného hmotného objektu nelze zvětšit, aniž by se při tom zvětšila jeho

hmotnost, a naopak.

A. Einstein usoudil, že obdobný vztah bude platit i mezi celkovou energií soustavy E a hmotností soustavy m. Rovnici E = mc

proto nazýváme

Einsteinův vztah mezi hmotností a energií. Tato rovnice patří k nejvýznamnějším výsledkům speciální teorie relativity a také k nejznámějším

fyzikálním rovnicím vůbec. Ukazuje, že energie a hmotnost, jako dvě různé charakteristiky hmotných objektů, jsou navzájem úměrné. Při každé

změně energie určitého objektu se mění také jeho hmotnost. Vzhledem k velké hodnotě rychlosti světla c (přibližně 300 000 km.s

-1

) odpovídá

určité změně energie makroskopického tělesa jen malá změna jeho hmotnosti. V klasické fyzice proto můžeme hmotnost těles považovat za

konstantní a nezávislou na energii. Uvedený vztah byl však ověřen mnohými experimenty v jaderné fyzice.

Je-li těleso vzhledem k vztažné soustavě v klidu, pak energii tohoto tělesa nazýváme klidová energie tělesa E

. Z rovnice E = mc

vyplývá, že

mezi klidovou energií E

a klidovou hmotností m

platí vztah E

= m

. Celková energie tělesa E se pak rovná součtu klidové energie E

kinetické energie E

: E = E

+ E

. Pro celkovou energii soustavy samozřejmě platí zákon zachování energie, podle kterého celková energie

izolované soustavy zůstává při všech dějích probíhajících uvnitř soustavy konstantní. V klasické fyzice tento zákon nijak nesouvisí se

zákonem zachování hmotnosti. Podle speciální teorie relativity však oba tyto zákony úzce souvisí a lze je považovat za dvě různé formy téhož

fyzikálního zákona. Společně se zákonem zachování hybnosti patří mezi nejobecnější fyzikální zákony.

Kinetická energie v STR

V klasické fyzice víme, že platí (pro rychlosti v << c):

Kinetická energie v STR (v → c):

Odvození vztahu provedeme z následující úvahy:

Celková energie tělesa = Klidová energie tělesa + Pohybová (kinetická) energie tělesa

potom můžeme psát

RELATIVISTICKÝ VZTAH PRO KINETICKOU ENERGII PLATNÝ V STR

Shrnutí / Přehled vztahů

PŘEVODNÍ TRANSFORMACE DŮSLEDKY STR RELATIVISTICKÁ DYNAMIKA

GALILEIHO TRANSFORMACE DILATACE ČASU RELATIVISTICKÁ HMOTNOST

LORENTZOVA TRANSFORMACE KONTRAKCE DÉLKY RELATIVISTICKÁ HYBNOST

RELATIVISTICKÉ

SKLÁDÁNÍ RYCHLOSTÍ

RELATIVISTICKÁ KINETICKÁ ENERGIE

VZTAH MEZI HMOTNOSTÍ A ENERGIÍ